90. Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar

90.Proektiv tekislikdagi ikkinchi
tartibli chiziqlar
1.proektiv koordinatalari
_{ } (1)
tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar barcha nuqtalar to’lami ikkinhi tartibli egri chiziq yoki kvadrika deyiladi va _{ } bilan belgilanadi. Yuqoridagi tenglamaning chap tomoni o’zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli ko’phaddir. Uning darajasi (1) tenglama bilan berilgan algebraic chiziqning taribini belgilaydi.
Biz ikkinchi tartibda haqiqiy chiziqlarni o’rganish bilan cheklanamiz. Shuning uchun umumiylikni buzmasdan _{ } koeffitsientlarni bir vaqtda nolga teng bo’lmagan haqiqiy sonlar deb hisoblaymiz (_{ }).
(1)tenglamaning chap tomoni o’zgaruvchilarga nisbatan kvadratik formada, uni _{ } bilan begilaymiz:
_{ } (2)
Kvadratik formaning
_{ } (3)
simmetrik matritsasi bo’ladi, ya’ni _{ }, bu erda _{ } matritsani transponirlash belgisi.
Agar (2) kvadratik forma berilgan bo’lsa, undan quyidagi bir chiziqli formani aniqlash mumkin:
_{   } (4)
Bu forma _{ } va _{ } o’zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli va chiziqlidir. Shuning uchun
_{ } (5)
bu erda _{ }, _{ }, _{ }, _{ } lar mos ravishda qisqacha _{ } bilan belgilangan. (2) va (5) formulani e’tiborga olib, quyidagini yoza olamiz:
_{ } (6)
2.Ikkinchi tartibli chiziqning to’g’ri chiziq bilan kesishishi.
Ikkita _{ }, _{ } nuqta orqali o’tuvchi _{ } to’g’ri chiziqning _{ } chiziq bilan kesishgan nuqtasini topaylik. _{ } to’g’ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy _{ }nuqtani olaylik. _{ } to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasini
_{ } (7)
Ko’rinishida yozish mumkin. _{ } son _{ } nuqtaning to’g’ri chiziqdagi vaziyatini aniqlaydi. _{ } ning qiymatini shunday tanlab olaylikki, _{ } nuqta _{ } chiziqda yotsin. Buning uchun _{ } larning qiymatini _{ } chiziq tenglamasiga qo’yamiz:

Bundan (6) formulaga asosan:
_{ } (8)
Shunday qilib, ikkinchi tartibli chiziq bilan to’g’ri chiziqning kesishish masalasi _{ } ga nisbatan kvadrat tenglamani yechish masalasiga keltiriladi. Tenglama koeffitsientlari haqiqiy sonlardan iborat, demak, ikkita har xil (haqiqiy yoki mavhum) qo’shma yoki karrali ildizlarga ega bo’ladi. _{ } shartda to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi _{ } chiziqqa tegishli bo’ladi, demakto’g’ri chiziq _{ } da yotadi.
Shunday qilib, ikkinchi tartibli chiziq bilan unda yotmagan to’g’ri chiziq ikkita haqiqiy nuqtada yoki ikkita mavhum qo’shma ikkita nuqtada, yoki ustma-ust tushadigan haqiqiy nuqtalarda kesishadi.

1. 
   Ikkinchi tartibli chiziqning urinmasi.
   

Agar _{ } to’g’ri chiziqning ikkinchi tartibli chiziq bilan kesishgan nuqtalari ustma-ust tushsa, _{ } tog’ri chiziq ikkinchi tartibli chiziqning urinmasi deb aytiladi. _{ } chiziqning ixtiyoriy _{ } nuqtasiga o’tkazilgan urinma tenglamasini tuzaylik. _{ } nuqta orqali o’tgan kesuvchida ixtiyoriy _{ } nuqtani olaylik, u holda _{ } tog’ri chiziqning parametrik tenglamasi:

_{ } to’g’ri chiziqning _{ } bilan kesishgan nuqtalarini topish uchun (8) ga o’xshagan ushbu tenglamani yechish kerak:
_{ } (9)
_{ } nuqta _{ } chiziqda yotadi, demak, _{ }. (9) tenglama quyidagi ko’rinishni egallaydi:
_{ } (10)
Bundan _{ }, demak, _{ } nuqta aniqlanadi. Ikkinchi kesishish nuqtasi uchun _{ } parametr
_{ } (11)
tenglamani qanoatlantirish kerak. Ikkinchi kesishish nuqtasi _{ } nuqta bilan ustma-ust tushishi uchun (11) tenglama _{ } yechimga ega bo’lishi kerak. Bu shart faqat

Tenglik bajarilganda o’rinli bo’ladi.
Bu tenglama ikkinchi tartibli chiziqning _{ } nuqtasiga o’tkazilgan urinma tenglamasidir.
Qutb va polyara
Ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalarini o’rganishda qutb va polyara tushunchalari muhim ahamiyatga ega.
Avvalo biz chiziq _{ } chiziqni ikkita _{ } nuqtada kessin. _{ } nuqtalarning koordinatalari _{ } nuqtalarning koordinatalari orqali chiziqli ifodalanadi: