90. Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar

1.Shteyner teoremasi.
Tekislikdagi birorta _{ } nuqtadan o’tuvchi barcha to’g’ri chiziqlar to’plamini to’g’ri chiziqlar dastasi, _{ } nuqtani dasta markazi deyiladi.
Agar dastani biror to’g’ri chiziq bilan kessak, u holda to’g’ri chiziq bilan dasta o’zaro perepektiv joylashgan deyiladi.
1-ta’rif. Agar ikkita to’g’ri chiziq bittani dastani kessa, u holda bu to’g’ri chiziqlar perspektiv to’g’ri chiziqlar deyiladi
Perspektiv to’g’ri chiziqlarning mos nuqtalarini birlashtiruvchi to’g’ri chiziqlar bitta nuqtadan bitta nuqtadan o’tadi.
Markazlari _{ } nuqtalarda bo’lgan ikkita dasta berilgan bo’lsin.
2-ta’rif. Agar _{ } dastaning har bir to’g’ri chiziqni _{ } dastaning unga mos to’g’ri chizig’iga o’tkazuvchi proektiv dastalar deyiladi.
Agar ikkita dastaning mos to’g’ri chiziqlari bitta to’g’ri chiziqda kesishsa , u holda bunday dastalar perspektiv dastalar deyiladi
1-teorema. Perspektiv bo’lmagan ikkita proektiv dasta mos to’g’ri chiziqlarining kesishgan nuqtalari to’plami ikkinchi tartibli (aynimaydigan) chiziqni tashkil qiladi.
_{ }, _{ }, _{ } (1)
_{ } dastani _{ } to’g’ri chiziq bilan, _{ } dastani _{ } to’g’ri chiziq bilan kesib, dasta chiziqlari bilan to’g’ri chiziq nuqtalari orasida mos ravishda _{ } perspektiv mosliklarni hosil qilamiz. _{ } proektiv almashtirishda (1) ni e’tiborga olsak,
_{ }, _{ }, _{ } (2)
hosil bo’ladi, bu yerda _{ }, _{ }, _{ } dastaning ixtiyoriy to’g’ri chizig’i, _{ } esa _{ } dastagi uning obrazi bo’lsin, _{ }, _{ }, _{ }, u holda _{ } Proektiv almashirishda to’rtta nuqtaning murakkab nisbati o’zarmaydi:

Agar _{ } nuqta _{ } reperga nisbatan_{ } koordinatlarga ega bo’lsa, _{ } reperga esa _{ }, _{ } koordinatlarga, _{ } reperga wsa _{ }, _{ } koordinatlarga ega bo’ladi.
_{ }, _{ }
(3)ni e’tiborga olib,
_{ } yoki _{ }
tenglamaga ega bo’lamiz. _{ } nuqtaning koordinatalari uchun bir jinsli ikkinchi darajali tenglama hosil qildik. Demak, _{ } nuqtalarning geometric o’rin ikkinchi tartibli chiziqdan iborat.
2-teorema (teskari teorema). _{ } markazlari ikkinchi tartibli chiziqda yotuvchi ikkita dastaning mos to’g’ri chiziqlari o’sha ikkinchi tartibli chiziqda kesishsa, dastalar proektivdir.