9. Xususiy vektorlar va xususiy qiymatlar masalasi

Теорема I.7 Ixtiyoriy chiziqli bog‘liq bo‘lmagan to‘liq sistema
ni ortonormal ga aylantirish mumkin. Yangi sistemaga kirgan funksiyalar eski funksiya
larning chiziqli kombinatsiyasi bo‘ladi.
Isbot. Ushbu ish qadamma-qadam bajariladi. Birinchi qadamda quyidagi yangi funksiya kiritamiz:
(135)
Ko‘rinib turibdiki, bu funksiyaning normasi birga teng:
Ikkinchi qadamda
(136)
funksiya kiritamiz. Biz uni ga ortogonal qilib olishimiz kerak,
buning uchun
(137)
shartdan noma’lum ni topib olamiz:
(138)
Demak,
(139)
Topilgan aynan nolga teng bo‘la olmaydi, bu holda funksiya funksiya orqali ifodalangan bo‘lib qolar edi, bu esa teorema shartlariga zid. Olingan funksiyaning normasini birga tenglashtirish qoldi:
(140)
Yangi sistemamizning ikkita elementini topdik - Ular o‘zaro
ortogonal va har birining normasi birga teng.

Davom ettiramiz. Yangi to‘plamning uchinchi elementini kiritamishni boshlaylik:

(141)
Bu element topilgan larga ortogonal bo‘lishi kerak:
(142)
ushbu ikkita shart bizga ikkita noma’lum alfalarni beradi:
(143)
(144)
Topilgan elementning normasini birga keltiraylik:
(145)
Shu etapda jarayonni umumlashtirishimiz mumkin. Agar funksiyalar topilgan bo‘lsa
(146)
formula asosida yangi funksiya olamiz va uning normasini birga
tenglashtirib
(147)
yangi sistemaning n-chi elementini ham topamiz. GramSchmidt
metodi deb atalgan bu metod bizga ko‘rinishdagi ortonormal sistemani beradi:
(148)
Metodni umumlashtirishimiz mumkin. G fazoda skalar ko‘paytma vazn bilan berilgan bo‘lsin:
(149)

Bu holda yuqoridagi hamma mulohazalarda skalar ko‘paytmalar

uchragan joylarda almashtirish bajarib chiqish kerak.
1.17-mashq. Quyidagi chiziqli bog‘liq bo‘lmagan monomlar sistemasi
berilgan bo‘lsin:
(150)
Ushbu sistemani yuqoridagi metod bo‘yicha
1. ( 1; 1) intervalda = 1 vazn bilan Legandre polinimlariga keltiring;
2. intervalda vazn bilan Hermite polinomlariga
Keltiring