9. Xususiy vektorlar va xususiy qiymatlar masalasi

Теорема I.5 A va B matritsalarning kommutativligi ularni bir vaqtda diagonal ko‘rinishga keltirilishining yetarli va zaruriy shartidir.
Isbot.
Yetarlilik sharti. A va B matritsalarning xususiy vektorlari to‘plami bir xil bo‘lgani uchun mana shu xususiy vektorlardan yuqoridagi (115) qoida bo‘yicha bitta T matritsa tuzaylik. Bu matritsa A ni ham, B ni ham bir vaqtda diagonal ko‘rinishga
keltiradi.
Zaruriylik sharti. Faraz qilaylik
(128)
diagonal matritsalar bo‘lsin. Bu yerda T - A (demak, B) matritsaning xususiy vektorlaridan (115) qoida bo‘yicha tuzilgan unitar matritsa. Bu degani
(129)
chunki diagonal matritsalar hamma vaqt kommutativ bo‘ladi.
10.3. Normal matritsalar
O‘zining hermite qo‘shmasi bilan kommutativ bo‘lgan matritsa normal matritsa deyiladi:
(130)
Normal matritsani quyidagi ko‘rinishda tasavvur qilishimiz
mumkin:
(131)
bu yerda A va B matritsalar hermite va kommutativ bo‘lishi kerak.
Darhaqiqat,
(132)
va
(133)
ifodalar bir biriga teng bo‘lishi uchun AB=BA
bo‘lishi kerak.
Ikkita o‘zaro kommutativ matritsani bir vaqtda diagonal ko‘rinishga keltirish mumkinligidan quyidagi tasdiq kelib chiqadi:
Теорема I.6 Normal matritsa diagonal ko‘rinishga keltiriladi.
1.15-mashq. Ixtiyoriy o‘lchamli A matritsa uchun
(134)
ayniyatni isbot qiling: a) (123) formulalardan foydalanib (diagonal ko‘rinishga
keltiriladi deb faraz qilib); b) umumiy holda.
1.16-mashq. Quyidagi matritsalarning xususiy qiymatlari va xususiy vektorlarini toping, ularni diagonal ko‘rinishga keltiring:

11. Gram-Schmidt metodi
Bizga biror C fazodagi chiziqli bog‘liq bo‘lmagan funksiyalar
to‘liq sistemasi berilgan bo‘lsin: