9. Xususiy vektorlar va xususiy qiymatlar masalasi

10. Matritsani diagonal ko‘rinishga keltirish
10.1. Umumiy mulohazalar
Uch o‘lchamli misoldan boshlaylik. Bizga ixtiyoriy hermite matritsa A berilgan bo‘lsin. Shunday bir matritsa T tuzaylikki, uning ustunlari A matritsaning xususiy vektorlaridan tashkil topgan bo‘lsin:
(115)
Bu matritsaning hermite qo‘shmasi
(116)
Tekshirish qiyin emaski
(117)
Umumiy holda ixtiyoriy matritsa A uchun diagonal ko‘rinishga keltirishni quyidagicha ta‘riflashimiz mumkin. A ning
xususiy vektorlaridan
(118)
matritsa va uning hermite qo‘shmasi
(119)
larni tuzamiz. Ular yordamida A matritsani diagonal ko‘rinishga
keltiramiz:
(120)
Ko‘rish qiyin emaski
(121)
ya’ni, T matritsa unitar matritsa: Demak, A hermite
matritsa unitar almashtirish yordamida diagonal ko‘rinishga
keltirilar ekan:
(122)
Biz bilamizki
(123)
Bundan ikkita muhim xulosa kelib chiqadi:
1.
2.
Birinchi xulosadan yana bitta xulosani keltirib chiqarish mumkin- agar A matritsa aynigan bo‘lsa (det A = 0) uning hechbo‘lmaganda bitta xususiy qiymati nolga teng bo‘lishi kerak.
10.2. Ikkita matritsani bir vaqtda diagonal ko‘rinishga keltirish
Теорема I.4 Bizga o‘zaro kommutativ bo‘lgan A va B matritsalar
berilgan bo‘lsin:
AB = BA (124)
Bu holda ularning xususiy vektorlari to‘plami bir bo‘ladi.
Isbot. x vektor A ning bir xususiy vektori bo‘lsin:
Ax = x (125)
Bu holda
A(Bx) = BAx = (Bx) (126)
Ya’ni, Bx vektor A matritsaning xuddi o‘sha xususiy qiymatiga mos keluvchi yana bir xususiy vektori ekan, u x dan faqat o‘zining uzunligi bilan farq qilishi mumkin:
Bx = x (127)
Demak, A ning xususiy vektori B ning ham xususiy vektori bo‘lar
ekan va teskarisi. Bundan teoremaning tasdiqi darhol kelib chiqadi.