9. Xususiy vektorlar va xususiy qiymatlar masalasi

2. To‘g‘ri nuqta atrofidagi yechim
Yechimni tenglamaning to‘g‘ri nuqtasi atrofida qidirishdan boshlaylik. Agar z = a nuqta atrofida p(z ) va q (z ) funksiyalar o‘zining Taylor qatoriga yoyilsa:

(4)
ya’ni, ular golomorf funksiyalar bo‘lsa, ushbu z = a nuqta (1) tenglamaning to‘g‘ri nuqtasi bo‘lishini ko‘rsataylik. Maqsadimiz, bu holda ushbu nuqta atrofida quyidagi ko‘rinishdagi ikkita mustaqil golomorf yechim mavjud bo‘lishini ko‘rsatish:
(5)
Tasdiqni isbot qilish uchun (5) qatorni bir va ikki marta differensiallab (1) tenglamaga olib borib qo‘yamiz. Birinchi hosila:

Ikkinchi hosila:

Natijalarni (1) tenglamaga olib borib qo‘yaylik:



Endi (z a) ning nolinchi, birinchi, ikkinchi va h.k.-nchi darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglashtiramiz:



va h.k. Bu munosabatlarni yechib larni ikkita noma’lum va
orqali ifodalash mumkin. Natijada yechim -(5) qator - quyidagi ko‘rinishga keladi:

bu yerda


Ko‘rinib turibdiki,

Agar Cauchy shartlarini
(6)
deb belgilasak yechim
(7)
ko‘rinishni oladi. funksiyalar sistemasi yechimlarning fundamental sistemasi deyiladi.
2.1-misol.
(8)
tenglamaning z = 0 nuqta atrofidagi yechimlari asosiy sistemasini toping.
Ko‘rinib turibdiki, z = 0 nuqta bu tenglama uchun to‘g‘ri nuqta:

(9)
Shu sababdan yechimni
(10)
ko‘rinishda qidiramiz. Hosilalarni topaylik:
(11)
Topilganlarni tenglamaga olib borib qo‘yamiz:
(12)
z ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglashtiramiz:



(13)
va h.k. Demak,
(14)