9-Mavzu: Funksiyaning uzluksizligi, elementar funksiyalar uzluksizligi

Natija: Barcha asosiy elеmеntar funksiyalar o‘zlarining aniqlanish sohasidagi har bir nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
8-Ta’rif: Berilgan funksiya biror nuqtada aniqlangan bo‘lib, bu nuqtada uning o‘ng (chap) limiti mavjud va

shartni qanoatlantirsa, u holda funksiya а nuqtada o‘ngdan(chapdan) uzluksiz deyiladi.
Masalan,

funksiya nuqtada o‘ngdan uzluksiz, chunki
.
Ammo bu funksiya nuqtada chapdan uzluksiz emas, chunki
.
Aksincha,

funksiya nuqtada chapdan uzluksiz, o‘ngdan esa uzluksiz emas.
Oldin ko‘rib o‘tilgan

funksiya nuqtada chapdan ham, o‘ngdan ham uzluksiz bo‘lmaydi, chunki
, .
7-Teorema: Berilgan funksiya qaralayotgan nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun bu nuqtada u ham chapdan, ham o‘ngdan uzluksiz bo‘lishi zarur va yеtarlidir.
Izoh: funksiya uchun nuqtada chap va o‘ng limitlar mavjud hamda ular o‘zaro teng, ya’ni ekanligidan har doim ham uni bu nuqtada uzluksiz bo‘lishi kelib chiqavermaydi.
Masalan,

funksiya uchun, 1-ajoyib limitga asosan,
.
Demak, bu funksiya nuqtada funksiya chapdan ham, o‘ngdan ham uzluklidir.
Kesmada uzluksiz funksiyalar uchun asosiy teoremalar. Dastlab funksiyaning kesmada uzluksizligi tushunchasini kiritamiz.
9-Ta’rif: Berilgan funksiya biror oraliqning har bir nuqtasida uzluksiz, chеgaraviy nuqtada o‘ngdan (chapdan) uzluksiz bo‘lsa , bu funksiya kesmada uzluksiz deyiladi.
Masalan, , funksiyalar har qanday kesmada uzluksizdir.
Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, uning grafigini shu kesmaga mos keluvchi qismi yaxlit (uzluksiz) chiziqdan iborat bo‘ladi. Uzluksizlikning bu gеomеtrik talqini uzluksiz funksiyalarning quyidagi xossalari va ularning isbotini tasavvur etishga imkon beradi.
8-Teorema: Agarda funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada kamida bitta shunday (yoki ) nuqta mavjudki, har qanday uchun (yoki ) munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Bu teoremadagi yoki berilgan funksiyaning kesmadagi eng katta yoki eng kichik qiymati dеb ataladi va

kabi belgilandi.
Masalan, , funksiya uchun , bo‘ladi, chunki bu kesmada , ya’ni munosabat o‘rinli.