|
Ko‘rsatkichli funksiya. Bu funksiya у=ах ko‘rinishda va unda daraja asosi a>0 va a1 shartni qanoatlantiruvchi o‘zgarmas son bo‘ladi. Masalan, у=3х, у=(1/10)х, y=ex ko‘rsatkichli funksiyalardir. Bu funksiya uchun D{f}=(−∞,∞), E{f}=(0,∞) bo‘ladi. Agar a>1 bo‘lsa, f(x)=ах o‘suvchi, 0<a<1 bo‘lsa kamayuvchi funksiyaga ega bo‘lamiz.
Logarifmik funksiya. Bu funksiya у=logax, (a>0, a1), ko‘rinishda bo‘lib, у=ах ko‘rsatkichli funksiyaga teskari funksiyani ifodalaydi.
Masalan, у=log2x, y= log 0.8 x , у= log10x =lgx, у= logex =lnx logarifmik funksiyalardir. Logarifmik f(x)=logax funksiya uchun D{f}=(0,∞), E{f}=(−∞,∞) bo‘ladi. Agar logarifm asosi a>1 bo‘lsa, f(x)=logax o‘suvchi, 0<a<1 holda esa kamayuvchi bo‘ladi.
Trigonometrik funksiyalar. Bular y=sinx, y=cosx, y=tgx va y=ctgx funksiyalardan iborat. Bu yerda f(x)=sinx va f(x)=cosx funksiyalar uchun D{f}=(−∞,∞) va E{f}=[0,1] bo‘lib, ular T=2π davrli va chegaralangan bo‘ladi. Bunda f(x)=sinx─toq, f(x)=cosx─juft funksiyalardir.
f(x)=tgx va f(x)=ctgx funksiyalarning aniqlanish sohalari mos ravishda D{f}={x: x≠(2k+1)π/2, kZ} va D{f}={x: x≠kπ, kZ }, qiymatlar sohasi E{f}=(−∞,∞) bo‘ladi. Bu funksiyalar T=π davrli, toq va chegaralanmagan bo‘ladi.
Teskari trigonometrik funksiyalar. Bularga y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx funksiyalar kiradi.Ular mos trigonometrik funksiyalarga teskari bo‘ladi. f(x)=arcsinx va f(x)=arccosx uchun D{f}=[–1,1], qiymatlar sohasi esa mos ravishda E{f}=[–π/2, π/2] va E{f}=[0, π] bo‘ladi. f(x)=arctgx va f(x)=arcctgx uchun D{f}=(−∞,∞), qiymatlar sohasi esa mos ravishda E{f}=(–π/2, π/2) va E{f}=(0, π) bo‘ladi. Bundan tashqari f(x)=arcsinx va f(x)=arctgx toq funksiyalardir.
Ta’rif: 1-5 funksiyalar asosiy elеmеntar funksiyalar dеb ataladi.
Chekli sondagi asosiy elеmеntar funksiyalar ustida chekli sondagi arifmetik va superpozitsiallash amallari orqali hosil qilingan funksiyalar elеmеntar funksiyalar deyiladi. Masalan , y=2lnsinx+x2/5, y=axln(x+1) elеmеntar funksiya bo‘ladi. у={х} va у=[х] elеmеntar bo‘lmagan funksiyalarga misol bo‘ladi.
Funksiyalarning ayrim iqtisodiy tatbiqlari. Iqtisodiyotning nazariy va amaliy masalalarini o‘rganishda funksiyalardan keng foydalaniladi. Masalan, ishlab chiqarish funksiyasi (ishlab chiqarish natijalarini turli omillarga bog‘liqligi), xarajatlar funksiyasi (ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi bilan xarajatlar o‘rtasidagi bog‘lanish), talab funksiyasi (mahsulotga talab hajmi va narx, foyda kabi turli omillar orasidagi bog‘lanishlar) kabi funksiyalar iqtisodiyotda ko‘p qo‘llaniladi.
Yana bir misol sifatida aholining daromadi x va uning turli tovarlarga ehtiyoji y orasidagi bog‘lanishlarni o‘rganish uchun shved iqtisodchi olimi Tornkvist tomonidan taklif etilgan quyidagi funksiyalarini qaraymiz:
, y inson hayoti uchun I navbatda zarur bo‘lgan oziq-ovqat mahsulotlari, kiyim-kechak kabi tovarlarga ehtiyoj ;
, y inson hayoti uchun II navbatda zarur bo‘lgan televizor, mebel, kosmetika kabi tovarlarga ehtiyoj ;
, yavtomobil, tilla bezaklar,dala hovlisi kabi qimmatbaho buyumlarga ehtiyoj .
Bu funksiyalar quyidagi iqtisodiy qonuniyatlarni ifodalaydi:
Daromad x ma’lum bir b, d yoki m qiymatdan oshgandan keyin tegishli tovarlarni xarid etish mumkin ;
Daromad x oshib borishi bilan I va II navbatda zarur bo‘lgan tovarlarga ehtiyojni ifodalovchi y funksiya o‘sishi sekinlashibdi ;
I va II navbatda zarur bo‘lgan tovarlarga ehtiyojni ifodalovchi y yuqoridan a soni (to‘yinish nuqtasi) bilan chegaralangan, chunki ularning iste’moli cheksiz o‘sishi mumkin emas;
Daromad x oshib borishi bilan qimmatbaho buyumlarga ehtiyoj ham o‘sib boradi va yuqoridan
Limitlarning xossalari. va ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish
1. O’zgarmas miqdorning limiti o’ziga teng.
Agar lim u va lim v mavjud bo’lsa :
2. lim (u+v)=lim u+lim v;
3. lim(uv)=limu
4. lim u va lim v mavjud va lim v bo’lsa,
lim
5. Agar а nuqtaning qandaydir bir atrofdagi х ning, balki faqat х=а dan boshqa, barcha qiymatlarida va funksiyalar bir-biriga teng bo’lsa va ulardan biri da limitga ega bo’lsa, ikkinchisi ham o’sha limitga ega bo’ladi.
Bu xossa va ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishga tatbiq etiladi. Masalan, х ning а dan boshqa barcha qiymatlari uchun
5. xossaga ko’ra,
Ta’rif: Agar son uchun shunday son topilsaki, argument X ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlariga tengsizlik bajarilsa, b son f(x) funksiyaning a nuqtadagi limiti deb ataladi va yoziladi.
ko’rinishida yoziladi.
Ta’rif: Agar son uchun shunday son topilsaki, argument x ning tengsizliklarni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, b son f(x) funksiyaning a nuqtadagi o’ng(chap) limiti deb
ataladi va yoki f(a+0)=b yoki f(a-0)=b
ko’rinishida yoziladi.
1-misol.'>1-misol. funksiyaning x=0 nuqtasi o’ng va chap limitlarini toping.
Yechilishi: X( ) to’plam berilgan bo’lib, a uning limit nuqtasi bo’lsin, f(x) va g(x) funksiyalar a nuqtada chekli limitga ega bo’lib, bo’lsin. U holda
1)
2)
3) bo’ladi.
funksiyani limitini hisoblashda kabi aniqmasliklarga duch kelamiz. Limitlarni hisonlashda avvalo aniqmaslikning bor yoki yo’qligi hamda agarda bor bo’lsa, uning ko’rinishi aniqlanadi. Avvalo aniqmaslik bartaraf etilib, keyin limit hisoblanadi. ( ) aniqmasliklarni bartaraf etishda cheksiz kichik miqdorlardan foydalaniladi.
2-misol. Limitni hisoblang
Yechish: Bu misolda kasrning surat va maxraji cheksizlikka intiladi ya’ni ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. Kasrni maxrajini ga bo’lsak:
3-misol. Limitni hisoblang:
Yechish: Bunda ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz.
va
Almashtirishni bajarsak:
4-misol . Limitni hisoblang.
Yechish: da kasrning surati ga, maxraji esa ga intiladi. Demak,
5-misol. Limitni hisoblang.
Yechish:
6-misol. Limitni hisoblang
Yechish:
7-misol. Limitni hisoblang.
Yechish:
ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. Kasrning surati va maxrajini ( ) ifodaga ko’paytirsak,
Mustaqil yechish uchun misollar:
Quyidagi limitlar topilsin:
;
;
;
;
;
;
;
9.
Ko’rsatma. Ikki usul: 1) surat va maxrajning eng katta darajasiga bo’lish; 2) deb olish bilan yechish mumkin.
9. ; 10. ; 11. ; 12. 13. 14. 15. ; 16. ;
17. ; 18. ; 19. ;
20. ;21. ; 22. ; 23. ;
Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlarni hisoblash
Birinchi ajoyib limit
OA=OM=1 bo’lsin, DМОА yuzi yuzi,
, yoki bundan esa ushbu qo’sh tengsizlikda limitga o’tsak, lim 1=1 ва lim cosx=1 bolgani 2-chizma uchun bo’ladi. Demak, teoremaga asosan ekani kelib chiqadi.
(1) –ajoyib limitdan quyidagi limitlar kelib chiqadi:
1) =1 8) =1
2) =1 9) =1
3) =1 10) =k
4) =k 11) =
5) = 12) =
6) = 13) =
7) =1 14) =
nisbatning dagi limiti Agar burchak radian o’lchovi bilan berilgan bo’lsa , u holda ;
Ikkinchi ajoyib limit va e soni
va h.k. Demak (1+ 1/n)n < 3 vа ekan, yoki ekani kelib chiqadi. Ko’rsatish mumkinki е = 2,7182818284... Bu son transsendent sondir.
Ikkinchi ajoyib limit
1. bu limitdan quyidagi ajoyib limitlar kelib chiqadi.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
1-misol.
2-misol.
3-misol. = = = =1
4-misol. = = == =
5-misol. = = = = = = =-1
6-misol.
Yechish: kasrning suratini maxrajiga bo’lib, butun qismini ajratib olamiz:
= Shunday qilib, x da berilgan funksiya asosi birga intiluvchi, ko’rsatkichi esa cheksizlikka intiluvchi darajani ifodalaydi, ya’ni ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. Funksiyani ikkinchi ajoyib limitdan foydalanish mumkin bo’ladigan qilib o’zgartiramiz:
da bo’lgani sababli ikkinchi ajoyib limitga ko’ra:
, ekanini hisobga olib, uzil-kesil
ekanini topamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
