7- ma’ruza O’rtacha miqdorlar

Tanlanma to’plam o’rtachasining formulasi

1-Misol. Tanlanma to’plam o’rtachasini hisoblash
Muammo. Quyidagi 5 ta tanlanma to’plam ko’rsatikchlari uchun o’rtachani hisoblang: 5, 3, 8, 5, 6.


Echish. Yig’indini ifodalash va tanlama to’plam o’rtacha tarifidan foydalanib, quyidagi aniqlaymiz:
Demak, ushbu tanlama to’plamning o’rtachasi 5.4.
Ortga nazar tashlash. x ni hisoblayotganda uni yaxlitlashning mahsus qoidasi mavjud emas, chunki x o’z xususiyati jihatdan barcha ko’rsatkichlar yig’indisining n ga nibati kabi aniqlanadi, ya’ni u maxsus kasr. x dan tasvirlash maqsadida foydalanilganda, x ning hisoblangan qiymatini haqiqiy ko’rsatkichlarda foydalaniladigan asosiy raqamgacha yaxlitlash qulay hisoblanadi. x dan boshqa hisoblashlarda foydalanilganda ko’proq raqamlarni qoldirish lozim bo’ladi.
1 -Misol. O’rtacha miqdorni printerdan chiqarilgan natijadan aniqlash – o’rtacha benzin sarfi
Muammo. 1-jadvalda berilgan 100 ta EPA bosib o’tilgan masofa uchun benzin sarfi o’rtacha miqdorni aniqlang.

1-jadval Atof muhitni himoya qilish agentligining 100 ta avtomobil bo’yicha bosib o’tilgan masofa ma’lumotlari
36.3	41.0	36.9	37.1	44.9
32.7	37.3	41.2	36.6	32.9
40.5	36.5	37.6	33.9	40.2
36.2	37.9	36.0	37.9	35.9
38.5	39.0	35.5	34.8	38.6
36.3	36.8	32.5	36.4	40.5
41.0	31.8	37.3	33.1	37.0
37.0	37.2	40.7	37.4	37.1
37.1	40.3	36.7	37.0	33.9
39.9	36.9	32.9	33.8	39.8
36.8	30.0	37.2	42.1	36.7
36.5	33.2	37.4	37.5	33.6
36.4	37.7	37.7	40.0	34.2
38.2	38.3	35.7	35.6	35.1
39.4	35.3	34.4	38.8	39.7
36.6	36.1	38.2	38.4	39.3
37.6	37.0	38.7	39.0	35.8
37.8	35.9	35.6	36.7	34.5
40.1	38.0	35.2	34.8	39.5
34.0	36.8	35.0	38.1	36.9

Echish. 100 ta avtomobilning bosib o’tilgan masofa bo’yicha benzin sarfining o’rtacha miqdori quyidagicha belgilanadi:
ning qiymatini qo’lda hisoblash (yoki kalkulyatorda) mumkin bo’lsada, biz o’rtachaning qiymatini aniqlashda SAS dasturidan foydalandik. SAS dasturidan chiqarilgan natija 2-rasmda tasvirlangan. Tanlanma to’plam o’rtacha miqdori, rasmda ajratib ko’rsatilgan, ni tashkil etadi.

2-rasm. 100 ta EPA benzin sarfi uchun SAS dasturining miqdoriy tasviriy o’lchovlari
Ortga nazar tashlash.Berilgan ushbu ma’lumotlardan bosib o’tilgan masofa reytingining o’rtachasi ≈37 atrofida ekanligini ko’rishingiz mumkin. Nisbiy chastota gistogrammasini o’rganish haqiqatda t taqsimotning markazi yaqiniga tushishini tasdiqlaydi.
Tanlama to’plam o’rtachasi tanlama to’plam ma’lumotlari asosida bosh to’plam to’g’rsida xulosa chiqarish haqidagi maqsadimizni amalga oshirishda muxim rol o’ynaydi. Shu sababdan, biz bosh to’plamning o’rtachasi, ya’ni bosh to’plamning har bir elementiga mos keluvchi ko’rsatkichlar qatorining o’rtachasi uchun boshqa belgidan foydalanishimiz lozim. Biz bosh to’plam o’rtachasi uchun grek harfi µ (myu) dan foydalanamiz.

Tanlama va bosh to’plam o’rtachalari uchun belgilar Ushbu matnda biz bosh to’plamni sonli tasvirlash o’lchovlarini aks ettirish uchun grek harflaridan, tanlama to’plamning mos sonli tasvirlash o’lchovlarini aks ettirish uchun rim harflaridan foydalanishning umumiy siyosatini qabul qilamiz.O’rtacha uchun belgilar: = tanlama to’plam o’rtachasi µ = bosh to’plam o’rtachasi

Biz ko’p xollarda tanlama to’plam o’rtachasi dan bosh to’plam o’rtachasi μ ni baholash (xulosa qilish) uchun foydalanamiz. Misol uchun, hamma avtomobillarni o’z ichiga oluvchi EPA ning bosib o’tilgan yo’l bo’yicha o’rtachasining qiymati biror µ ga teng. 100 ta avtomobilning yurgan masofasi o’rtachasi avtomobil= 36.9940. Agar, odatdagidek biz butun to’plam uchun ma’lumotlarni olish imkonimiz bo’lmasa, biz dan µ baholovchi sifatida foydalanishimiz mumkin. Keyin, biz xulosalarimizning ishonchliligi to’g’risida nimadir bilishimiz kerak. Ya’ni, µ ni baholashda dan qay darajadagi aniqlikni kutishimiz mumkinligini bilishimiz lozim. 7-bobda biz shuni aniqlaymizki, ushbu aniqlik ikkita omilga bog’liq bo’ladi:
1. Tanlama to’plam o’lchami. Tanlama to’plam o’lchami qanchalik katta bo’lsa, baholash ham shuncha aniq bo’ladi.
2. Ma’lumotlarning variatsiyasi yoki tarqoqligi. Boshqa barcha omillar o’zgarishsiz qolganda, ma’lumotlar qanchalik o’zgaruvchan bo’lsa, aniqlik shunchalik past bo’ladi.
O’rtacha garmonik. Statistikada o’rtacha arifmetik bilan bir qatorda o’rtacha garmonik ham keng qo’llaniladi.
O’rtacha garmonik– bu o’rtacha arifmetik miqdorning teskari , ya’ni z=-1 bo’lgan darajasiga tengdir.
O’rtacha garmonik miqdor ham o’rtacha arifmetik miqdorga o’xshab oddiy va tortilgan shakllariga ega.
Agarda variantlar va ularning chastotalari ko’paytmasining yig’indisi bir xil bo’lsa, oddiy o’rtacha garmonik formulasi qo’llaniladi.

Berilgan yoki keltirilgan variatsion qatorlarda chastotalar har bir variant bo’yicha noma’lum bo’lib, ularning o’rniga variantlar va chastotalarning ko’paytmasi berilgan bo’lsa, o’rtacha miqdorni hisoblashda garmonik tortilgan formuladan foydalaniladi: