6-ma’ruza Tekislik va fazodagi to’g’ri chiziqning, hamda tekislikning turli ko’rinishdagi tenglamalari

Berilgan uch nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi. 

 

 

( 

 

   

 

   

 

),  

 

( 

 

   

 

   

 

) 

va 

 

 

( 

 

   

 

   

 

)  nuqtalar  bir  to„g„ri  chiziqda  yotmasin.  U  holda  bu  nuqtalar  orqali 

o„tuvchi  yagona     tekislik  mavjud.  Bu  tekislik  tenglamasini  ixtiyoriy     nuqtaning    

tekislikka  tegishli  bo„lish  sharti  orqali  topamiz.  Bu  shart  tekislikning  ixtiyoriy 

 (       )  nuqtasi  uchun   

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗    * 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

+,   

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗    * 

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

+  va   

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗    *     

 

        

 

        

 

+  vektorlarning  komplanar 

bo„lishidan  iborat.  Aralash  ko„paytmaning  2-xossasiga  ko„ra  bu  vektorlar  komplanar 

bo„lishi  uchun  ularning  aralash  ko„paytmasi  nolga  teng  bo„lishi  kerak: 

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗   

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗   

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.  Bu  tenglikni  koordinatalari  bilan  berilgan  uchta  vektor  aralash 

ko„paytmasini hisoblashning (2.49) formulasiga ko„ra  

|

     

  

       

 

        

 

 

 

   

 

  

 

   

 

  

 

   

 

 

 

   

 

  

 

   

 

  

 

   

 

|                                        (14) 

ko„rinishda  yozish  mumkin.  Bu  tenglama  berilgan  uch  nuqtadan  o‘tuvchi  tekislik 

tenglamasi  deb  ataladi.  Determinantni  hisoblab  qidirilayotgan  tekislikning  umumiy 

tenglamasini hosil qilamiz. Masalan, determinantni 1-satr elementlari bo„yicha yoysak 

|

 

 

   

 

  

 

   

 

 

 

   

 

  

 

   

 

| (     

 

)   |

 

 

   

 

  

 

   

 

 

 

   

 

  

 

   

 

| (     

 

)   

  |

 

 

   

 

  

 

   

 

 

 

   

 

  

 

   

 

| (     

 

)     

tenglikka  ega  bo„lamiz.  Qavslar  ochilgandan  so„ng  bu  tenglik  tekislikning  umumiy 

tenglamasiga aylanadi. 

Tekislikning  kesmalardagi  tenglamasi.  Berilgan  uch  nuqtadan  o„tuvchi  tekislikning 

xususiy  holini  qaraymiz. 

 

 

(         ), 

 

(         ),   

 

(         ),         ,  nuqtalar 

bitta  to„g„ri  chiziqda  yotmaydi  va  koordinata  o„qlarida  noldan  farqli  uzunlikka  ega 

kesmalar  ajratuvchi  tekislikni  aniqlaydi  (7-rasm).  Bu  yerda  “kesma  uzunligi”  deganda 

 

 

, 

 

 

  va 

 

 

  nuqtalar  radius-vektorlarining  noldan  farqli  koordinatalari  nazarda 

tutilgan. 

 

 (       ) bu tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo‟lsa,  

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗    *          +,  

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗   

*          +,    

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗    *             + bo„lganligi uchun (14) tenglama 

|

             

               

               

|     

ko„rinishni oladi. Determinantni hisoblab, 

  (     )                 

tenglikka ega bo„lamiz va uni     ko„paytmaga bo„lsak 

---

 

 

 

 

 

 

 

 

    

tenglama hosil bo„ladi. Bu tenglama tekislikning kesmalardagi tenglamasi deb ataladi.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6-Misol. 

 (       )  nuqtadan  o„tuvchi  va  koordinata  o„qlaridan  bir  xil  uzunlikdagi 

kesmalar ajratuvchi tekislik tenglamasini tuzing. 

►Qidirilayotgan  tekislik  koordinata  o„qlarida  bir  xil  uzunlikdagi  kesmalar  ajratgani 

uchun, uning tenglamasi 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

ko„rinishda  bo„ladi.  Bu  tenglamani   (       )  nuqtaning  koordinatalari  ham 

qanoatlantirishi  kerak: 

(         )         Bundan  esa         ga  va  natijada 

qidirilayotgan 

                  tenglamaga ega bo„lamiz. ◄ 

Tekislikning  normal  tenglamasi.  Fazoda  biror 

   tekislikni  qaraymiz.  Uning  uchun 

koordinatalar boshidan “tekislik tomonga” yo„nalgan birlik normal  ⃗  vektorni olamiz va 

  orqali koordinatalar boshidan   tekislikkacha bo„lgan masofani belgilaymiz (8-rasm). 

Agar  tekislik  koordinatalar  boshidan  o„tgan  bo„lsa,       deb  va   ⃗   normalning   

yo„nalishi    sifatida    mumkin   bo„lgan   ikki yo„nalishdan ixtiyoriy birini tanlaymiz. 

 

Agar 

   nuqta     tekislikning  nuqtasi  bo„lsa,    

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   vektorning   ⃗   vektor 

yo„nalishidagi  ortogonal  proyeksiyasi     ga  teng  bo„ladi,  ya‟ni   ⃗   

⃗⃗⃗⃗⃗⃗      

 

⃗ 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗     , 

chunki 

 ⃗  vektorning uzunligi birga teng.  

  nuqtaning koordinatalari (       ) va  ⃗    *                     + bo„lsin (birlik vektor 

uchun uning yo„naltiruvchi vektorlari bir vaqtning o„zida koordinatalari ham bo„lishini 

eslatib  o„tamiz).   ⃗   

⃗⃗⃗⃗⃗⃗       tenglikdagi  skalyar  ko„paytmani  koordinatalar  orqali 

ifodalasak 

                                    

tekislikning normal tenglamasini hosil qilamiz. 

Tekislikdagi  to„g„ri  chiziq  holi  singari,  fazodagi  tekislikning  umumiy  tenglamasini 

normallash-tiruvchi ko„paytuvchiga bo„lib, uni normal ko„rinishga o„tkazish mumkin. 

Tekislikning 

                      tenglamasi  uchun   √ 

 

   

 

   

 

  son 

normallashtiruvchi  ko„paytuvchi  bo„ladi,  uning  ishorasi     koffisiyentning  ishorasiga 

qarama-qarshi  olinadi.  Absolyut  qiymati  bo„yicha  normallashtiruvchi  ko„paytuvchi 

𝑀

 

 

𝑀

 

 

𝑀

 

 

𝑂 

𝑏 𝑦 

𝑧 

𝑎 

𝑥 

𝑐 

7-rasm 

𝑄 

𝑂 

𝑦 

𝑥 

𝑇 

𝑧 

𝑝 

𝑛⃗  

8-rasm 

---

*       +  noprmal  vektor  uzunligiga  teng.  Agar  tekislik  koordinatalar  boshidan  o„tsa, 

ya‟ni         bo„lsa,  normallashtiruvchi  ko„paytuvchining  ishorasini  ixtiyoriy  tanlash 

mumkin.  

7-Misol.  Tekislikning   

                       umumiy  tenglamasini  normal 

ko„rinishga keltiring. 

►Normallashtiruvchi ko„paytuvchini “ ” ishora bilan hisoblaymiz (chunki          

 ): 

     

 

√ 

 

  (  )

 

   

 

   

 

 

  

Shunday qilib, berilgan tekislikning normal tenglamasi 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

          

ko„rinishda  bo„ladi.  Tenglamadan  ko„rinib  turibdiki  tekislikdan  koordinatalar 

boshigacha bo„lgan masofa       bo„ladi.◄ 

Tekislikning  chala  tenglamalari.  Agar 

                      tenglamaning  ayrim 

koffisiyentlari  nolga  teng  bo„lsa,  tekislikning  koordinata  o„qlariga  va  tekisliklariga 

nisbatan joylashinuvini o„rganamiz. 

Agar  tenglamaning 

         koffisiyentlaridan  ikkitasi  nolga  teng  bo„lsa,  u 

koordinata  tekisliklaridan  biriga  parallel  tekislikni  aniqlaydi.  Masalan, 

           va 

      bo„lsa,  

 

             yoki  

 

       tekislik     tekislikka parallel, chunki 

uning 

 ⃗ 

 

  *       +  normali  bu  tekislikka  perpendikulyar.                    yoki 

                  bo„lsa, qidirilayotgan   

 

              va  

 

              tekisliklar 

mos ravishda 

    va     tekisliklarga parallel bo„ladi, chunki ularning  ⃗ 

 

  *       + 

va 

 ⃗ 

 

  *       + normallari ularga perpendikulyar (9-rasm). Agar tenglamaning  ,      

koffisiyentlaridan faqat bittasi nolga teng bo„lsa, u koordinata o„qlaridan biriga parallel 

tekislikni  aniqlaydi.  Masalan, 

                    tekislik      o„qqa  parallel,  chunki 

uning 

 ⃗    *       +  normali      o„qqa  perpendikulyar.     tekislik       tekislikda 

yotuvchi 

                   to„g„ri chiziq orqali o„tishini ta‟kidlash kerak (10-rasm). 

Agar 

      bo„lsa,   tekislik koordinatalar boshidan o„tadi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-Misol. 

  parametrning qanday qiymatida  

     ( 

 

    )    ( 

 

       )              

𝑂 

𝑇

 

 

𝑇

 

 

𝑇

 

 

𝑛⃗ 

 

 

𝑛⃗ 

 

 

𝑛⃗ 

 

 

𝑧 

𝑦 

𝑥 

9-rasm 

𝑇 

𝐿 

𝑦 

𝑥 

𝑂 

𝑧 

𝑛⃗  

10-rasm 

---

tenglama  aniqlaydigan 

   tekislik:  1)  koordinata  tekisliklaridan  biriga  parallel;  2) 

koordinata o„qlaridan biriga parallel; 3) koordinata boshidan o„tadi. 

►Berilgan tenglamani 

      (     )    (     )(     )                                       (15) 

ko„rinishda  yozib  olamiz.     parametrning  har  qanday  qiymatida  (4)  tenglama  birorta 

tekislikni  aniqlaydi,  chunki 

         oldidagi  koffisiyentlar  bir  vaqtning  o„zida  nolga 

aylanmaydi. 

1) 

        bo„lsa,  (15)  tenglama       tekislikka  parallel   

 

               tekislikni 

aniqlaydi, 

        bo„lsa,       tekislikka  parallel   

 

                 tekislikni 

aniqlaydi. 

   parametrning  har  qanday  qiymatida  ham  (15)  tenglama       tekislikka 

parallel tekislikni aniqlamaydi, chunki 

     oldidagi koeffisiyentlar bir vaqtning o„zoida 

nolga aylanmaydi. 

2)

       bo„lsa, (15) tenglama    o„qqa parallel                   tekislikni aniqlaydi. 

   parametrning  boshqa  har  qanday  qiymatida  ham  (15)  tenglama  qolgan  koordinata 

o„qlariga parallel tekislikni aniqlamaydi. 

3)

       bo„lsa (15) tenglama koordinatalar boshidan o„tuvchi                       

tekislikni aniqlaydi.◄ 

Fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamasi 

Fazodagi  to‘g‘ri  chiziqning  umumiy  tenglamasi.  Fazodagi  to„g„ri  chiziqni  ikkita 

tekislikning kesishish chizig„i sifatida qarash mumkin. Agar 

 

 

   

 

     

 

     

 

     

 

   ,   

 

   

 

     

 

     

 

     

 

    

tekisliklar parallel bo„lmasa, ular to„g„ri chiziq bo„ylab kesishadi.  (       ) nuqtaning 

koordinatalari  bu  tekisliklar  har  birining  tenglamasini  qanoatlantirganda,  ya‟ni  to‘g‘ri 

chiziqning umumiy tenglamasi deb ataluvchi 

{

 

 

     

 

     

 

     

 

    

 

 

     

 

     

 

     

 

    

                                           (16) 

sistemaning yechimi bo„lgandagina bu to„g„ri chiziqqa tegishli bo„ladi. 

Fazodagi  to‘g‘ri  chiziqning  parametrik  tenglamasi.  To„g„ri  burchakli  koordinatalar 

sistemasida  yo„naltiruvchi  vektori       *       +  bo„lgan  va   

 

( 

 

   

 

   

 

)  nuqtadan 

o„tuvchi     to„g„ri  chiziq  berilgan  bo„lsin  va   (       )  fazoning  ixtiyoriy  nuqtasi 

bo„lsin.     nuqtaning     to„g„ri  chiziqqa  tegishli  bo„lish  sharti   

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗    *     

 

     

 

 

       

 

+  va      vektorlar  kollinear  bo„lishidan  iborat.  Bu  esa  ularning  mos 

koordinatalari  proporsional  degan  ma‟noni  angalatadi.     orqali  proporsionallik 

koeffisiyentini  belgilab 

     

 

           

 

           

 

      tengliklarga  ega 

bo„lamiz. Bundan esa fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi deb ataluvchi 

{

     

 

     

     

 

     

     

 

     

                                                (17) 

sistemani  hosil  qilamiz.  (17)  sistemadagi  oltita  koeffisiyentni  quyidagicha  geometrik 

talqin qilish mumkin: to„g„ri chiziqning       qiymatga mos keluvchi bitta nuqtasining 

koordinatalari va to„g„ri chiziq yo„naltiruvchi vektori koordinatalari. 

 

Shunday  qilib,  (17)  sistemadagi 

         koffisiyentlarning  hech  bo„lmaganda 

bittasi noldan farqli bo„lsa, bu sistema fazoda  

 

( 

 

   

 

   

 

) nuqtadan o„tuvchi to„g„ri 

chiziqni aniqlaydi.  

---

Fazodagi  to‘g‘ri  chiziqning  kanonik  tenglamasi.  (17)  parametrik  tenglamalarda 

  

parametrni yo„qotamiz va natijada  

     

 

 

 

     

 

 

 

     

 

 

 

(18) 

tenglikka  ega  bo„lamiz.  Bu  tenglama  fazodagi  to‘g‘ri  chiziqning  kanonik  tenglamasi 

deb ataladi. 

 

Kanonik  tenglamada  maxrajda  nol  qiymat  bo„lishi  ham  mumkin.          

parametrlar nol qiymatining ma‟nosini anglash uchun nol maxrajlar muammosi yo„q (3) 

parametrik  tenglamalarga  e‟tiborimizni  qaratamiz.  Masalan,         bo„lsa,  (18) 

tenglamadan 

     

 

  kelib  chiqadi.  Ko„rinib  turibdiki,  agar  kanonik  tenglamada 

maxrajlardan biri (yoki ikkitasi, ammo uchtasi emas) nolga teng bo„lsa, unga mos surat 

ham nolga teng bo„lar ekan.  

Ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi. Fazodagi har qanday to„g„ri chiziq 

o„zining  ixtiyoriy  ikkita  har  xil  nuqtasi  bilan  bir  qiymatli  aniqlanadi.  Ikkita  har  xil 

 

 

( 

 

   

 

   

 

)  va   

 

( 

 

   

 

   

 

)  nuqtalardan  o„tuvchi     to„g„ri  chiziq  tenglamasini 

tuzamiz. 

 (       )  bu  to„g„ri  chiziqning  ixtiyoriy  nuqtasi  bo„lsin.  U  holda   

 

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗   

* 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

+  va   

 

 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗    *     

 

       

 

       

 

+  vektorlar  kollinear 

bo„ladi, shuning uchun vektorlarning parallellik shartiga ko„ra 

     

 

 

 

   

 

 

     

 

 

 

   

 

 

     

 

 

 

   

 

 

(19) 

tenglik  o„rinli  bo„ladi.  (19)  tenglama  berilgan  ikki  nuqtadan  o‘tuvchi  to‘g‘ri  chiziq 

tenglamasi deb ataladi. 

9-Misol. 

 

 

                    ,     

 

                        tekisliklar  kesishishidan 

hosil bo„lgan to„g„ri chiziqning kanonik tenglamasini tuziung. 

►Bu  to„g„ri  chiziqning  birorta  nuqtasi  koordinatalarini  topish  uchun  tekisliklar 

tenglamalariga 

      qiymatni qo„yamiz, natijada   va   noma‟lumlarga nisbatan 

{

           

           

 

sistemani hosil qilamiz va bu sistemaning yagona  

               yechimini topamiz. 

Shunday qilib, 

(         ) nuqta qidirilayotgan to„g„ri chiziqda yotadi. 

 

To„g„ri  chiziqning  yo„naltiruvchi  vektori  sifatida   

 

va 

 

 

tekisliklar 

 ⃗ 

 

 

*        +  va   ⃗ 

 

  *         +  normal  vektorlarining   ⃗ 

 

   ⃗ 

 

bektor  ko„paytmasini 

olamiz.  Koordinatalari  bilan  berilgan  vektorlarning  vektor  ko„paytmasini  hisoblash 

formulasiga ko„ra: 

 ⃗ 

 

   ⃗ 

 

  |

                

            

          

|                 

⃗ , 

ya‟ni  to„g„ri  chiziqning  yo„naltiruvchi  vektori       *          +  bo„ladi.  Topilgan     

vektorni  soddalik  uchun  unga  kollinear  bo„lgan 

      *       +  vektor  bilan 

almashtiramiz. 

 

Topilganlar yordamida qidirilayotgan to„g„ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 

     

 

 

     

 

 

     

 

   ◄