6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari

Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi.

М₁ (х₁ ; у₁ )
va М ₂ (х₂ ; у₂ )
nuqtalar berilgan bo’lib, shu nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri

chiziq tenglamasini tuzish talab etilsin. Shartga ko’ra to’g’ri chiziq nuqtadan o’tganligi uchun uning tenglamasi (10.4) ga ko’ra
y-y₁=k₁(х-x₁)
М₁ (х₁ ; у₁ )

bo’ladi. Bu yerdagi k noma‘lum. Uni topish uchun to’g’ri chiziqning М ₂ (х₂ ; у₂ )

nuqtadan o’tishi shartidan foydalanamiz.
М ₂ (х₂ ; у₂ )
nuqta to’g’ri chiziqda

yotganligi uchun uning koordinatalari shu to’g’ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, ya‘ni

Bundan
у₂  у₁  k(x₂  x₁ ) .

_{k } y₂  y_{1 .}
x₂  x₁
k ning ushbu topilgan qiymatini to’g’ri chiziq tenglamasiga qo’ysak

1

1
y  y  ^{y2  y1} (x  x )

yoki buni

у₂  у₁

ga bo’lsak

x₂  x₁

tenglamaga ega bo’ladi.
х  х_{1 }
х₂  х₁
у  у₁ у₂  у₁
(10.5)

Demak (10.5) berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidir.

(10.5) da
х₁  х₂ ,
у₁  у₂
deb faraz qilinadi, aks holda u ma‘noga ega emas.

Boshqacha aytganda to’g’ri chiziq koordinata o’qlarining hech biriga parallel

bo’lmagan holni qaradik. Agar
х₁  х₂
bo’lsa to’g’ri chiziq 0y o’qqa parallel bo’lib,

uning tenglamasi
х  х₁ bo’ladi. Agar
у₁  у₂ bo’lsa, to’g’ri chiziq 0x o’qqa parallel

bo’lib uning tenglamasi
у  у₁
bo’ladi.

Izoh (10.5) tenglama to’g’ri chiziq koordinata o’qlarining birortasiga parallel bo’lganda ham yaroqli.
U holda (10.5) dagi qaysi kasrning maxraji nolga teng bo’lsa uning suratini ham nolga tenglashtirish kerak xolos.

5. 
   misol. Uchlari А(2;3), В(-1;4), С(5;5) nuqtada bo’lgan uchburchakning og’irlik markazidan uning AC tomoniga parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq va undan AB tomoniga perpendikulyar o’tkazilgan to’g’ri chiziqlar topilsin.
   

Yechish. Uchburchakning og’irlik markazi M ni topamiz. Ma‘lumki uchburchak og’irlik markazining koordinatalari uning uchlarining nomdosh koordinatalarining o’rta arifmetigiga teng, ya‘ni uchlari А( х₁ ; у₁ ), В( х₂ ; у₂ ), С( х₃ ; у₃
) nuqtalarda bo’lgan uchburchak og’irlik markazi М( х_с ; у_с ) nuqtaning koordinatalari

_{х } х₁  х₂  х_{3 ,}
с ₃
у_с 
у₁  у₂  у₃
3

formulalar yordamida topiladi.
Biz qarayotgan holda

_{х } 2  (1)  5 _{ 2 ,}
с _{3
у } 3  4  5 _{ 4}
с ₃
va М(2;4).

Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (10.5) ga asoslanib uchburchakning AC va AB tomonlari tenglamalari topiladi. (10.5) ga A va B nuqtaning koordinatalarini qo’ysak

х  2 _
1  2
у  3

4  3

yoki у-3= ^{(х  2)}
3
bo’ladi.

Bundan AB to’g’ri chiziq tenglamasi
у   ^х  ²  3 yoki у   ¹ х  3 ²
ga ega

bo’lamiz.
3 3 3 3

Shuningdek (10.5) ga A va C nuqtalarni koordinatalarini qo’yib AC tomon tenglamasini topamiz:

х  2 _ у  3
yoki
х  2 _ у  3 _.

5  2 5  3 3 2

Bundan
^{у  3  2 (х  2) yoki} у  ² х  ⁵
ga ega bo’lamiz.

3 3 3

(10.2) ga asosan M(2;4) nuqtadan
у  ² х  ⁵
to’g’ri chiziqqa (AC tomonga) parallel

3 3
o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasini topamiz: х₁=2, у₁=4, k= ² bo’lgani uchun
3

у  4  ² (х  2)
3
yoki 3у-12=2х-4 va bundan 2х-3у+8=0 AC tomonga parallel to’g’ri

chiziq tenglamasi kelib chiqadi.
Endi (10.3) dan foydalanib M(2;4) nuqtadan uchburchakning AB tomoniga
o’tkazilagn perpendikulyar to’g’ri chiziq tenglamasini topamiz: х₁=2, у₁=4, k=  ¹
3
ekanini hisobga olsak
у-4=3(х-2) yoki у=3х-6+4, bundan у=3х-2 bo’ladi.

10. To’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi.

Faraz qilaylik to’g’ri chiziq koordinata o’qlarining hech biriga parallel bo’lmasdan u 0x o’qdan ОА=а, 0у o’qdan ОВ=b kesmalar ajratsin
39-chizma
U holda to’g’ri chiziq А(а;о) va В(o;b) nuqtalardan o’tishi ravshan. Shuning uchun ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (10.5) dan foydalanamiz:

х₁  а,
у₁  0,
х₂  0,
у₂  b
bo’lgani uchun
x  a _ y  0

yoki
^x _{ 1 } ^y , bundan

0  a b  0

• 
  a b
  

^x  ^y  1
(10.6)

a b
kelib chiqadi. Bu tenglama to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi
deb ataladi.

6. 
   Misol. 4х-5у-20=0 to’g’ri chiziq chizilsin.
   

Yechish. To’g’ri chiziq tenglamasini kesmalarga nisbatan yozamiz:

4х-5у=20 yoki 20 ga bo’lsak
^4х  ^5у  1 va bundan
х _ у
 1 kelib chiqadi. Demak

а=5, b=-4 (40-chizma).
20 20
5  4

40. 
    chizma
    

11. To’g’ri chiziqning normal tenglamasi.

Faraz qilaylik to’g’ri chiziq
^x  ^y  1
tenglama orqali berilgan bo’lib u

a b
koordinatalar boshidan o’tmasin (41-chizma). To’g’ri chiziqqa ОР perpendikulyar o’tkazib uning uzunligini p, 0P perpendikulyar bilan 0х o’q orasidagi burchakni  orqali belgilaymiz. p to’g’ri chiziqning normali deb ataladi.

40. 
    chizma
    

Chizmadagi  АОР dan
^{ОР  cos ; ОА= OP}  ^{p ; a  p .}

^ОА cos cos cos

 АВР dan
^ОР  cos(90   )  sin ^{; ОВ=}
ОB
p _;
sin 
b  ^{p .}
sin 


а va b ning ushbu qiymatlarini to’g’ri chiziqning tenglamasiga qo’ysak

x
p
cos 
^y  1

sin 

yoki
хcos  y sin  p ;
хcos  y sin  p  0
(10.7)

p
kelib chiqadi. (10.7)-to’g’ri chiziqning normal tenglamasi deb ataladi.
To’g’ri chiziqning normal tenglamasini o’ziga xos xususiyatlaridan biri

undagi
p  0 va
cos²   sin ²  =1.

To’gri chiziq tenglamasini normal ko’rinishiga keltirish.

To’g’ri chiziq umumiy ko’rinishidagi tenglamasi Ах+Ву+С=0 (9.5) yordamida berilgan bo’lsin. Shu tenglamani (10.7) ko’rinishdagi normal tenglamaga keltirish mumkinligini ko’rsatamiz. Shu maqsadda (9.5) tenglamani shunday o’zgarmas son M ga ko’paytiramizki natijada
МАх+МВу+МС=0 (10.8)
to’g’ri chiziqning normal tenglamasi bo’lsin. Buni normal tenglama (10.7) bilan

taqqoslab
M  A  cos, M  B  sin, M  C   p
ekaniga iqror bo’lamiz. Oxirgi

tenglamadan M,  , p noma‘lumlarni aniqlash qiyin emas. U yerdagi birinchi ikkita tenglamani kvadratga ko’tarib hadlab qo’shsak

M ² A²  M ² B²  cos²   sin ²   1;
M ² ( A²  B² )  1;
M ² 
1


A²  B ²

bo’lib bundan
M  ¹
(10.9)

kelib chiqadi. M ni normallovchi ko’paytuvchi deb ataladi. (10.9) da ishora ozod had С ning ishorasiga qarama-qarshi olinadi. M ning topilgan qiymatini (10.8) ga

qo’yib
cos, sin
va p larni aniqlash mumkin:

cos 
^А , sin 
^В , p  ^С .

Shunday qilib koordinatalar boshidan Ах+Ву+С=0 to’g’ri chiziqqacha masofa
p  (10.10)
formula yordamida topilar ekan.

7.