6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari

Berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

М₁х₁; у₁  nuqta hamda y=kx+b to’g’ri chiziq berilgan. Shu nuqtadan to’g’ri
chiziqqa parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasini topish talab etiladi. (10.1) formulaga binoan izlanayotgan tenglama
y-y₁=k₁(х-x₁)
ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yerdagi noma‘lum k₁ ni to’g’ri chiziqlarni parallellik shartidan aniqlaymiz. Parallellik sharti (9.9) ga binoan k₁=k bo’ladi.
Demak y-y₁=k(х-x₁) (10.2)
Bu berilgan nuqtadan berilgan to’јri chiziqqa parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

2. 
   misol. М  2;3 nuqtadan 2х-у+5=0 to’g’ri chiziqqa parallel o’tkazilgan
   

to’g’ri chiziqning tenglamasi yozilsin.
Yechish. To’g’ri chiziq tenglamasidan у=2х+5 va k=2 ekani kelib chiqadi. х₁=- 2, у₁=3 bo’lgani uchun (10.2) ga ko’ra

у-3=2(х+2) yoki у=2х+7
kelib chiqadi.

Berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

Berilgan М₁х₁; у₁  nuqtadan berilgan у=kx+b to’g’ri chiziqqa perpendikulyar
o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasini topish talab etilsin (10.2) ga binoan izlanayotgan tenglama
y-y₁=k₁(х-x₁)
bo’ladi. Ikkinchi tomondan bu to’g’ri chiziq berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar

bo’lgani uchun (9.10) ga asosan
k  k₁
 1
yoki
k   ¹
1 _k
bo’ladi.

Demak y-y₁= ¹ (х-x₁) (10.3)
k
Bu tenglama berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

3. 
   misol (2; -1) nuqtadan utib 5x-2y+10=0 to’g’ri chiziq bilan tashkil etuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi topilsin.
   

45⁰
burchak

Yechish. Izlanayotgan to’g’ri chiziqni burchak koeffitsientini (9.7) formulaga binoan axtaramiz.

Berilgan to’g’ri chiziq tenglamasini
у  ⁵ х  5
2
ko’rinishda yozsak uning burchak

koeffitsienti
k  ⁵
1 ₂
ekani kelib chiqadi. Shartga binoan to’g’ri chiziqlar orasidagi

2
burchak   45⁰ . Izlanayotgan burchak koeffitsientni k deb belgilasak (9.7) formula

2
k  ⁵
tg 45⁰  ²
1  ⁵ k
₂ 2
ko’rinishga ega bo’ladi. Bundan

k  ⁵
1  2 ²
5
yoki 1+ ⁵ k
₂ 2

 k₂

 ⁵ ;
2

5
₂ k₂

• 
  k₂
  

  ⁵ 1;
2

3
₂ k₂

  ⁷ ;
2
k   ⁷
2 ₃


bo’ladi.

1  ₂ k₂
Shunday qilib (10.1) ga binoan izlanayotgan tenglama

у  1   ⁷ (х  2)
3
yoki 3у  3  7х 14 ,

bundan 7х  3у 11  0 bo’ladi.

Agarda k
 ⁵ ,   45⁰ deb olib (9.7) dan k ni topsak k  ³ bo’ladi. Bu holda

2 ₂ 1 1 ₇

izlanayotgan tenglama (10.1) ga binoan
y  1  ³ (x  2)
7
yoki 3х-7у-13=0 bo’ladi.

Demak masala ikkita yechimga ega ekan.

To’g’ri chiziqlarning har biri berilgan to’g’ri chiziq bilan 45⁰ burchak tashkil etganligi sababli ular o’zaro perpendikulyardir (38-chizma).


38-chizma

To’g’ri chiziqlar dastasi.

1-ta‘rif. Tekislikning M nuqtasidan o’tuvchi va shu tekislikda yotgan barcha to’g’ri chiziqlar to’plami to’g’ri chiziqlar dastasi deb ataladi.
Bunda M nuqta dastaning markazi deyiladi.

Berilgan
М₁ (х₁ ; у₁ )
nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi
y-y₁=k₁(х-x₁) (10.4)

ni qaraymiz. Bu yerdagi burchak koeffitsient k o’zgarsin. U holda k ning har bir aniq qiymatiga М₁(х₁; у₁) nuqtadan o’tuvchi aniq to’g’ri chiziq mos keladi. Aksincha abssissalar o’qiga perpendikulyar х=х₁ to’g’ri chiziqdan farqli barcha to’g’ri chiziqlar aniq k burchak koeffitsientiga ega bo’lib u (10.4) tenglama yordamida aniqlanadi.
Shunday qilib k burchak koeffitsient istalgan sonli qiymatni qabul qilganda
(10.4) tenglama x=x₁ to’g’ri chiziqdan farqli markazi M₁ x₁ ; y₁  nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasini tenglamasini ifodalaydi.

4. 
   misol. Markazi А(2; -3) nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi yozilsin. Dastadan 0x o’q bilan 60⁰ burchak tashkil etuvchi to’g’ri chiziq ajratilsin.
   

Yechish. х₁=2; у₁=-3. (10.4) ga ko’ra dastaning tenglamasi у+3=k(х-2) bo’ladi. Shu dastadagi to’g’ri chiziqlardan 0х o’q bilan 60⁰ burchak tashkil etuvchi to’g’ri

chiziqning tenglamasini tuzamiz.
  60⁰ , k  tg 60⁰ 
bo’lgani uchun dasta

tenglamasidan
y  3 
3(x  2)
yoki y 
3 x  (2
 3)
tenglamaga ega bo’lamiz.

9.