6-ma’ruza. Chiziqli dasturlash masalalarining matematik modellari, iqtisodiy tahlili. Maqsad funksiyasi. Egizak masala. Reja

Ba’zi chiziqli dasturlash masalalari
1. Ishlab chiqarishni tashkil qilish va rejalashtirish masalasi
Faraz qilaylik, korxonada m xil mahsulot ishlab chiqarilsin: ulardan ixtiyoriy birini i(i=1,..., m) bilan belgilaymiz. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun n xil ishlab chiqarish faktorlari zarur bo’lsin. Ulardan ixtiyoriy birini j (j=1,..., n) bilan
belgilaymiz.
Har bir ishlab chiqarish faktorining zahirasi va ularning bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan me’yori quyidagi jadvalda berilgan:

Jadvaldagi har bir bj - j - ishlab chiqarish faktorining zahirasini; aij - i - mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan j - faktorning me’yori; C_i - korxonaning i - mahsulot birligini realizatsiya qilishdan oladigan daromadini bildiradi.
Masalaning iqtisodiy ma’nosi: korxonaning ishlab chiqarish rejasini shunday tuzish kerakki:
a) hamma mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan har bir ishlab chiqarish faktorining miqdori ularning zahirasidan oshmasin;
b) mahsulotlarni realizatsiya qilishidan korxonananing oladigan daromadi maksimal bo’lsin.
Rejalashtirilgan davr ichida ishlab chiqariladigan i- mahsulotining miqdorini x_i - bilan belgilaymiz. U holda masaladagi a) shart quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi:

Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko’ra hamma noma’lumlar manfiy bo’lmasligi kerak, ya’ni:

Masaladagi b) shart uning maqsadini aniqlaydi. Demak masalaning maqsadi mahsulotlarni realizatsiya qilishdan korxonaning oladigan umumiy daromadini maksimallashtirishdan iborat va uni

ko’rinishdi ifodalash mumkin.
Shunday qilib, ishlab chiqarishni rejalashtirish masalasining matematik modeli quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

2. Iste’mol savati masalasi
Faraz qilaylik, kishi organizmi uchun bir sutkada n xil A1, A2,..., An ozuqa moddalari kerak bo’lsin, jumladan A1 ozuqa moddasidan b1 miqdorda, A2 ozuqa moddasidan b2 miqdorda, A3 ozuqa moddasidan b3 miqdorda va hokazo, An dan bn miqdorda zarur bo’lsin va ularni m ta B1, B2,...,Bm mahsulotlar tarkibidan olish mumkin bo’lsin, har bir Vi mahsulot tarkibidagi Aj ozuqa moddasining miqdori aij birlikni tashkil qilsin.
Masalaning berilgan parametrlarini quyidagicha jadvalga joylashtirish mumkin.

• 
  Masalaning iqtisodiy ma’nosi: iste’mol savatiga qanday mahsulotlardan qanchadan kiritish kerakki, natijada: a) odam organizmi qabul qiladigan ozuqa moddasi belgilangan minimal normadan kam bo’lmasin; b) iste’mol savatining umumiy bahosi minimal bo’lsin.
  
• 
  Iste’mol savatiga kiritiladigan i - mahsulotning miqdorini xi bilan belgilaymiz.
  
• 
  U holda masalaning a ) sharti quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi.
  

Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko’ra hamma noma’lumlar manfiy bo’la olmaydi, ya’ni:

Masaladagi b) shart uning maqsadini ifodalaydi. Demak, masalaning maqsadi
iste’mol savatiga kiritiladigan mahsulotlarning umumiy bahosini minimallashtirishdan iborat bo’lib, uni quyidagi chiziqli funktsiya ko’rinishida ifodalash mumkin:

Shunday qilib «iste’mol savati» masalasining matematik modelini ko’rinishida yozish mumkin.

1-misol. Uzunligi 110 sm. bo’lgan po’lat xipchinlardan uzunliklari 45 sm, 35 sm va 50 sm bo’lgan xomaki mahsulotlar tayyorlash kerak bo’lsin. Talab qilingan xomaki mahsulotlar miqdori mos ravishda 40, 30 va 20 birlikni tashkil qilsin. Po’lat xipchinlarni kesish yo’llari va ularga mos keluvchi xomaki mahsulotlar va chiqindilar miqdori quyidagi jadvalda keltirilgan.

Har bir kesish usuli bo’yicha qancha po’lat xipchinlar kesilganda tayyorlangan xomaki mahsulotlar miqdori rejadagiga teng bo’ladi va chiqindilarning umumiy iqdori minimal bo’ladi?
Yechish. j - usul bilan kesiladigan po’lat xipchinlar sonini xj bilan belgilaymiz. U holda uzunligi 45 sm bo’lgan xomaki mahsulotlardan ja’mi
2xj + x2 + x3
miqdorda tayyorlanadi. Rejaga ko’ra bunday mahsulotlar soni 40 taga teng bo’lishi kerak, ya’ni
2xj + x2 + x3 = 40 .
Xuddi shuningdek, uzunliklari 35 sm. va 50 sm. bo’lgan xomaki mahsulotlarni ishlab chiqarish rejasini to’la bajarilishidan iborat shartlar mos ravishda
x2 + 3x4 + x5 = 30 va x3 + x5 + 2x6 = 20
tenglamalar orqali ifodalanadi.
Iqtisodiy m a’nosiga k o’ra belgilangan noma’lumlar manfiy bo’la olmaydi, demak

Rejadagi xomaki mahsulotlarni ishlab chiqarishda hosil bo’lgan chiqindilarning umumiy miqdorini quyidagi chiziqli funktsiya ko’rinishida ifodalaymiz.

Masalaning shartiga ko’ra bu funktsiya minimum qiymatni qabul qilishi kerak, ya’ni

Shunday qilib, quyidagi chiziqli dasturlash masalasiga ega bo’lamiz.