56-§. Jism inersiya markazining harakati qonuni

M = [RF] (57.1)
bunda R kattalik O nuqtadan o‘tuvchi o‘qdan F kuchning qo‘yilishi nuqtasigacha masofa (148-a rasm). Aylanish o‘qi harakat tekisligiga (chizma tekisligiga) tik.
M = FR sin𝛼 =Fh

148-rasm.

Vektor ko‘paytma qoidasiga ko‘ra, momentning moduli oldin aniqlangan kuch momenti (yelka h=Rsin 𝛼) kattaligiga mos keladi. (57.1) formula, avtomatik ravishda, hamma vaqt harakat tekisligiga tik bo‘lgan momentning ishorasini va yo‘nalishini ko‘rsatadi.
Jism bilan bog‘lanmagan biror qo‘zg‘almas Oxy koordinatalar sistemasiga nisbatan jismning yassi harakatini qaraylik (148-b rasm). Jismdan moddiy nuqta deb qarash mumkin bo‘lgan Δm_i massali biror kichik zarrani ajratib olaylik; uning holati O koordinata boshidan o‘tkazilgan R_i radius-vektor bilan belgilanadi. Aytaylik, і nuqtaga (f_i)_tashq tashqi kuch va (f_i)_ichki kuch ta’sir qilayotgan bo‘lsin. U holda nuqtaning harakat qonuni quyidagicha yoziladi:
(57.2)
(57.2) bunda - qo‘zg‘almas Oxy koordinatalar sistemasiga nisbatan tezlik. (57.2) tenglamaning har bir hadiga R_i ni vektor ko‘paytiramiz:
(57.3)
Agar ekanligini eslasak, birinchi hadni ko‘rinishda yozish mumkin va shuning uchun

Jismning barcha nuqtalari uchun (57.3) tenglamalarni yozib qo‘shib chiqsak, quyidagi hosil bo‘ladi:
(57.4)
Har bir ichki kuch uchun unga kattaligi jihatidan teng va yo‘nalishi qarama-qarshi bo‘lgan, jismning boshqa nuqtasiga qo‘yilgan kuchning mavjudligi hamda kuchlarning yo‘nalishi qarama-qarshi, yelkalari esa birdayligi sababli ularning momentlari yigindisi nolga tengligidan o‘ng qismdagi ikkinchi yig‘indi nolga teng.
kattalikni nuqtaning harakat miqdori momenti,

kattalikni esa butun jismning 0 nuqtadan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan harakat miqdori momenti deyiladi. Endi qattiq jism yassi harakatining umumiy qonunini uning O dan o‘tuvchi qo‘zg‘almas o‘qqa nisbatan aylanishi sifatida quyidagicha yozish mumkin:
(57.5)
yoki harakat miqdori momentining hosilasi tashqi kuchlar momentlari yig‘indisiga teng:

(57.5) tenglamaning ko‘rinishi xuddi qattiq jismning jism bilan doimiy bog‘langan o‘q atrofidagi aylanishi holidagidek (53.4) bo`lib, faqat bunda nuqtalarning r_i harakat tezliklari R_i ga tik bo‘lmaydi, R_i ning kattaligi va yo‘nalishi vaqt o‘tishi bilan o‘zgaradi.
Agar inersiya markazining harakati qonuni (56.7) ni hisobga olinsa, (57.5) tenglama yanada ravshanroq fizikaviy talqin oladi. Aytaylik,
R_i=R₀+r_i
bunda R_i - massalar markazi O’ ning radius-vektori, r_i- jismning massalari markazi bilan bog‘langan, aylanmaydigan O'x'y' koordinatalar sistemasiga nisbatan nuqtaning radius-vektori (148-v rasm). U holda і-nuqtaning tezligi ushbuga teng bo‘ladi:
v_i = v₀ + u_i
bunda
v₀ = dR₀ / dt, u_i = dr_i / dt
Har bir nuqtaning radius-vektori massalar markazining radius-vektori bilan o‘sha nuqtaning massalar markazi bilan bog‘langan sistemadagi radius-vektori yig‘indisidan tashkil topadi. Shunday munosabatlarni tezliklar uchun ham yozish mumkin. Agar biz shu ifodalarni (57.4) formulaga qo‘ysak, quyidagi hosil bo‘ladi:

yoki

(57.6)
(57.6) chap qismining katta qavs ichidagi ikkinchi va uchinchi yig‘indilar massalar markazi ta’rifiga ko‘ra nolga teng. Haqiqatdan ham,

hamda bu tenglikni differensiallasak, ushbuni topamiz:

U holda
(57.7)
bunda te — butun jism massasi va - jismga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning yigindisi. (57.7) da o‘ng va chapdagi birinchi hadlar qisqarib ketadi. Haqiqatdan ham, (56.7) ga ko‘ra
va bo‘lgani sababli

Natijada ajoyib munosabat hosil bo‘lib, uni shunday yozish mumkin:
(57.8)
bunda - massalar markazi O’ dan (ushbu paytda) o‘tuvchi o‘qqa nisbatan harakat miqdori momenti, - o‘sha o‘qqa nisbatan tashqi kuchlar momenti.
(57.8) qonunning ko‘rsatishicha, jismning murakkab yassi harakatida massalar markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan harakat miqdori momentining hosilasi tashqi kuchlarning o`sha o`qqa nisbatan momentiga teng. Aylanish xuddi jismda va fazoda qo‘zg‘almas bo‘lgan o‘q atrofidagidek yuz beradi (153.4) ga. q.).
Qattiq jismda massalar markazi doimiy holatni saqlagani sababli u_i tezlikni u_i = [𝜔r_i] ko‘rinishda ifodalash mumkin, bunda 𝜔 ning yo‘nalishi hamma vaqt harakat tekisligiga tik bo‘ladi.
kattalik jismning massalar markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inersiya momenti ekanligi bizga ma’lum. U holda (57.8) tenglama qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanishdagidek, odatdagi ko‘rinishni oladi:
(57.9)
, , M vektorlar hamma vaqt jismning harakat tekisligiga tik ekanligini ta’kidlab o‘tamiz.
Agar jism boshlang`ich paytda kuch qo‘yilguncha tinchlikda, ya’ni =0 bo‘lsa, u holda keyin ham nolga teng bo‘ladi. Boshqacha aytganda, agar tashqi kuchlarning umumiy ta’sir etuvchisining chizig`i inersiya markazi yotgan o‘q orqali o‘tsa, hamda jism harakatini tinch vaziyatidan boshlasa, jism ilgarilanma harakat qiladi. Agar shu holda boshlang‘ich paytda jism burchak tezlikka ega. ya’ni jism aylanayotgan bo‘lsa, bu holda =0 bo‘lgani sababli u o‘sha burchak tezlik bilan aylanishda davom etadi.
Yassi harakatning juft kuchlar ta’sirida yuzaga keluvchi xususiy holini ko‘rsatib o‘tamiz. Juft kuchni hosil qiluvchi parallel kuchlar teng va bir-birlariga qarama-qarshi bo‘lganlaridan juft kuchning natijaviysi nolga teng bo‘ladi. Inersiya markazi kuchlar qo‘yilguncha tinchlikda bo‘lgan bo‘lsa, bu holda u tinchlikda qoladi. Demak, jism juft kuch ta’sirida, kuchlar qayerga qo‘yilganidan qati nazar, inersiya markazidan o‘tuvchi va sismning harakat tekisligiga tik o‘q atrofida aylanadi.
Har qanday o‘qqa nisbatan juft kuchlar momenti kuch F ning ular orasidagi masofa H (yelka) ga ko‘paytmasiga teng bo‘lgan yagona qiymatga ega bo‘ladi (149-rasm). Haqiqatdan ham, kuchlarning O₁ va O₂ nuqtalardan o‘tuvchi o‘qlarga nisbatan momentlari quyidagiga teng bo‘ladi:

149- rasm.


150-rasm.

151-rasm.

Yakunlab, barcha aytilganlarni qisqacha yana shunday bayon qilish mumkin. Yassi harakatda jism tashqi kuchlar ta’sirida bir vaqtda ham ilgarilanma, ham aylanma harakat qiladi. Jism har bir nuqtasining tezlanishi ilgarilanma haakat tezlanishi bilan massalar markazidan o`tuvchi o`q atrofida aylanishidagi tezlanish yig`indisidan iborat bo`ladi. Ilgarilanma harakat tezlanishi jismning barcha nuqtalari uchun birday va quyidagiga teng:

(57.10)
Bunda - barcha tashqi kuchlarning natijaviysi, m - jism massasi. Tezlanishning yo`nalishi F natijaviyning yo`nalishiga mos keladi. Massa markazidan o`tuvchi o`q atrofida aylanma harakatning tezlanishi quyidagiga teng:
(57.11)
Bunda M - barcha tashqi kuchlarning massa markazidan o`tuvchi o`qqa nisbatan momenti, I - jismning o`sha o`qqa nisbatan inersiya momenti.