Isboti. Zarurligi (5.14) sistema birgalikda va yechimga ega bo’lsin. U holda
yoki
(5.15)
o’rinli bo’ladi.
matritsaning oxirgi ustunidan ga ko’paytirilgan birinchi ustunni, keyin ga ko’paytirilgan ikkinchi ustunni va hokazo nihoyat ga ko’paytirilgan n-ustunni ayiramiz. U holda (5.15) ga binoan ga ekvivalent
matritsa hosil bo’lib А bo’ladi. Demak .
Demak (5.14) sistema birgalikda bo’lganda bo’lar ekan.
Yetarliligi. bo’lsin. (5.14) sistemaning birgalikda ekanini ko’rsatamiz. A matritsaning noldan farqli -tartibli minori uning yuqori chap burchagida joylashgan deb faraz qilamiz. Aks holda noma‘lumlar va tenglamalarning o’rinlarini almashtirish yo’li bilan bunga erishish mumkin.
matritsa matritsaga ham kiradi. 4.3-teoremaga binoan A va matritsaning ranglari ga teng bo’lganligi sababli ularning -satridan -satrigacha barcha satrlari birinchi ta satrlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo’ladi. Bu (5.14) sistemaning -tenglamasidan boshlab qolgan barcha tenglamalari uning birinchi ta tenglamalarining natijasi ekanligini bildiradi. Ya‘ni noma‘lumlarning biror qiymatlari (5.14) sistemaning dastlabki ta tenglamalarini qanoatlantirsa, u holda bu qiymatlar shu sistemaning qolgan barcha tenglamalarini ham qanoatlantiradi. Shuning uchun (5.14) sistemaning -tenglamasidan boshlab qolgan barcha ta tenglamalarini tashlab yuborib berilgan tenglamalar sistemasiga teng kuchli
(5.16)
sistemani hosil qilamiz.
(5.14) sistemani yechishda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin: va . Agar bo’lsa, u holda (5.16) sistemaning tenglamalari soni uning noma‘lumlari soniga teng, shu bilan birga sistemaning asosiy determinanti bo’lib shartga binoan u noldan farqli. Shuning uchun bu holda (5.16) sistema va u bilan birga unga teng kuchli (5.14) sistema ham yagona yechimga ega, ya‘ni (5.14) sistema birgalikda. Agar bo’lsa (5.16) sistemaning tenglamalari soni uning noma‘lumlari sonidan kam. U holda (5.16) sistemani bunday yozamiz:
(5.17)
«ozod noma‘lum»larga ixtiyoriy qiymatlar beramiz va sistemaning asosiy determinanti bo’lganligi sababli (5.17) sistemani yechib noma‘lumlarning qiymatlarini topamiz. Shunday qildib bu holda (5.17) sistema va u bilan birga unga teng kuchli (5.14) sistema ham cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lar ekan.
Xulosa. (5.14) sistemaning matritsasi va kengaytirilgan matritsalarning ranglari noma‘lumlar soniga teng, ya‘ni bo’lsa, u holda (5.14) sistema yagona yechimga, agar bu matritsalarning ranglari o’zaro teng bo’lib, lekin noma‘lumlar sonidan kichik, ya‘ni bo’lsa, u holda (5.14) sistema cheksiz ko’p yechimgalarga ega bo’lar ekan.
bo’lganda (5.14) sistema bir jinsli sistema deb ataladi. Bir jinsli sistema uchun АB bo’lgani uchun bo’ladi va u doimo birgalikda. Xulosaga binoan bo’lganda bir jinsli sistema yagona ya‘ni nol yechimga ega.
5.1-teoremaga asoslanib bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi uchun qutidagi teoremaga ega bo’lamiz.
5.2-teorema. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi nolmas yechimlarga ega bo’lishi uchun sistemaning matritsasi A ning rangi noma‘lumlar soni n dan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir.
Natija. Agar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining tenglamalari soni m noma‘lumlari soni n dan kam bo’lsa, u holda sistema nolmas yechimlarga ega bo’ladi. Нaqiqatdan ham, .
Olingan natijalar tenglamalari soni noma‘lumlari soniga teng chiziqli tenglamalar sistemasi uchun ham o’rinli ekanligini ta‘kidlab o’tamiz.
Endi chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirishga doir misollar qaraymiz.
5-misol. Ushbu
sistema birgalikda bo’lsa, uni yeching?
Yechish. Sistemaning matritsasi
ning rangini topamiz. Matritsaning birinchi va ikkinchi satrlarini qo’shib to’rtinchi satridan ayiramiz. U holda
yoki oxirgi matritsaning birinchi satrini (-3) ga ko’paytirib ikkinchi va uchinchi satrlarning mos elementlariga qo’shsak
bo’ladi. Hosil bo’lgan ekvivalent matritsaning rangi chunki
.
Demak, A matritsaning rangi ham 3 ga teng; .
Kengaytirilgan
matritsaning rangini hisoblaymiz. A matritsadagi singari elementar alamashtirishlarni bajaramiz:
Oxirgi ekvivalent matritsaning rangi bo’lishi ravshan. Demak kengaytirilgan matritsaning rangi ham 3 ga teng: .
Matritsalar bir xil ranglarga ega bo’lganligi uchun sistema birgalikda.
Bundan tashqari matritsalarning rangi noma‘lumlarning soniga teng, shu sababli sistema birgina yechimga ega. minor birinchi uchta tenglama koeffitsientlaridan tuzilgan, shu sababli to’rtinchi tenglama birinchi uchta tenglamalarning natijasidan iborat va uni tashlab yuborish mumkin.
Berilgan sistemaning birinchi uchta tenglamalaridan tuzilgan uch noma‘lumli uchta tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yechib ni topamiz. Bu yechim berilgan sistemaning ham yechimi bo’ladi.
