5. Chiziqli tenglamalar sistemasini echishning matritsa va Gauss usullari

5.Chiziqli tenglamalar sistemasini echishning matritsa va Gauss usullari
5.1.Chiziqli tenglamalar sitstemasini matritsali yozilishi va yechilishi
Osonlik uchun uch noma‘lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi
(5.1)
ni qaraymiz.
А= , Х= , В=
belgilashni kiritamiz. U holda matritsalarni ko’paytirish qoidasiga binoan
АХ=  =
bo’ladi. Shuning uchun (5.1) sistemani matritsalarni tengligidan foydalanib
=
ko’rinishida yoki qisqacha АХ=В (5.2) matritsali tenglama ko’rinishda yozish mumkin. (5.1) sistema (5.2) yordamida berilgan bo’lib А xosmas matritsa bo’lsa uni quyidagicha yechiladi. (5.2) tenglamaning har ikkala tomonini chapdan А matritsaga teskari А^-1 ga ko’paytirsak, А^-1(АХ)=А^-1В; (А^-1А)Х=А^-1В, ЕХ=А^-1В; Х=А^-1В bo’ladi.
Х=А^-1В (5.3) matritsali tenglama (5.2) ning yechimidir.


1-misol.

sistema matritsa usulida yechilsin.
Yechish.
Bu misolda А= , В= , Х=
bo’lgani uchun berilgan sistemani АХ=В matritsali ko’rinishda va uning yechimini Х=А^-1В ko’rinishda yozish mumkin. A matritsaning determinanti 1-satr elementlarini 2 ga ko’paytirib 2-satrning mos elementlariga qo’shamiz va hosil bo’lgan determinantni ikkinchi satr elemenlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz.

bo’lgani uchun А xosmas matritsa va unga teskari А^-1 matritsa mavjud. А matritsaning barcha elementlarini algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:

А₁₁=(-1)¹⁺¹ =-2, А₁₂=(-1)¹⁺² =-3, А₁₃=(-1)¹⁺³ =-4,
А₂₁=(-1)²⁺¹ =-1, А₂₂=(-1)²⁺² =-9, А₂₃=(-1)²⁺³ =-7,
А₃₁=(-1)³⁺¹ =0, А₃₂=(-1)³⁺² =5, А₃₃=(-1)³⁺³ =5.

Algebraik to’ldiruvchilarning qiymatlarini (4.2) formulaga qo’yib А^-1 teskari matritsani topamiz:

А^-1= .
Х, А^-1 va В matritsalarni Х=А^-1В tenglikga qo’yamiz. U holda
= = = = .
hosil bo’ladi. Bundan х=1, у=2, z=3 echimni hosil qilamiz.