5. Chiziqli tenglamalar sistemasini echishning matritsa va Gauss usullari

4-misol. sistema Gauss usuli bilan yechilsin.
Yechish. Birinchi tenglamadagi х oldidagi koeffitsientni 1 ga keltirish maqsadida sistemadagi birinchi va ikkinchi tenglamalarni o’rinlarini almashtirib uni
(5.13)
ko’rinishda yozamiz.
a) (5.13) sistemaning birinchi tenglamasini –3 ga ko’paytirib sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’shamiz:

b) (5.13) sistemaning birinchi tenglamasini –5 ga ko’paytirib uchinchi tenglamaga qo’shamiz:

Shunday qilib,

sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema uch noma‘lumli ikkita tenglamalar sistemasi

ga teng kuchli. Oxirgi sistema esa cheksiz ko’p yechimlarga ega.

5.3 Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish. Kroneker-Kapelli teoremasi
Tenglamalari soni noma‘lumlari soniga teng chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer hamda Gauss usullari yordamida tekshirish(echish)ni ko’rdik.
Endi tenglamalari soni noma‘lumlari sonidan farqli, ya‘ni n ta noma‘lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi
(5.14)
ni qaraymiz. Bunda -sistemaning koeffitsientlari, -noma‘lumlar, -ozod hadlar deyiladi. 1dan gacha, 1 dan n gacha barcha natural qiymatlarni qabul qiladi. , - ma‘lum sonlar.
Shu sistema qachon birgalikda (kamida bitta yechimga ega) bo’ladi degan savolga javob izlaymiz. Javobni matritsa rangi tushunchasiga asoslanib beriladi.
Sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan

matritsani hamda A matritsaga sistemaning ozod hadlari ustunini birlashtirish natijasida hosil bo’ladigan

matritsani qaraymiz. А matritsa sistemaning matritsasi, esa kengaytirilgan matritsa deb ataladi. ekanligi ravshan.
5.1-teorema (Kroneker-Kapelli). (5.14) chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun sistemaning matritsasi A bilan kengaytirilgan matritsaning ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli.