5-amaliy mashg’ulot. 2×2, 2×n, m×2 o’lchamli o’yinlar. Reja

5-amaliy mashg’ulot. 2×2, 2×n, m×2 o’lchamli o’yinlar.


Reja:

1. 
   Aralash strategiyalar. Asosiy teorema.
   
2. 
   2x2 - o’yinni yechish.
   
3. 
   Matrisaviy o’yinni soddalashtirish.
   

Tayanch so’z va iboralar: matrisaviy o’yin, aralash strategiyalar, sof strategiyalar, optimal aralash strategiyalar, to’lovlar matrisasi, muvozanat vaziyat, o’yinning quyi va yuqori bahosi, egar nuqta, o’yinchining yutug’i, takrorlanuvchi (ekvivalent) strategiyalar, befoyda strategiyalar, strategiyalar qavariq kombinasiyasi.


1. Aralash strategiyalar. Asosiy teorema

Faraz qilaylik, - o’lchamli matrisaviy o’yin berilgan, uning to’lovlar matrisasi

bo’lib, o’yinda egar nuqta (muvozanat vaziyati) mavjud bo’lmasin, ya’ni o’yinning quyi bahosi va yuqori bahosi uchun munosabat bajarilsin. Bu holda minimaks va maksimin strategiyalar optimal bo’la olmaydi.
Quyidagi misolda ko’rsatamizki, muvozanat vaziyatiga ega bo’lmagan o’yinda minimaks yoki maksimin strategiyalardan foydalanish ma’qul emas.
1-misol. To’lovlar matrisasi

bo’lsin. Bu matrisa uchun , ( ), ya’ni muvozanat vaziyati mavjud emas. Birinchi o’yinchining maksimin strategiyasi , ikkinchi o’yinchining minimaks strategiyasi esa . Agar ikkinchi o’yinchi strategiyadan foydalansa va birinchi o’yinchi strategiyani tanlasa, u 3ga teng yutuq oladi, bu esa maksimindan 2 birlik kattadir. Ammo, agar ikkinchi o’yinchiga birinchi o’yinchining strategiya tanlashi ma’lum bo’lib qolsa, u o’zining strategiyasini ga o’zgartiradi va unda birinchi o’yinchi faqat nolga teng yutuqqa, ya’ni maksimin holidan 1 birlik kam yutuqqa ega bo’ladi, xolos. Xuddi shunday mulohazalarni ikkinchi o’yinchi uchun ham yuritish mumkin.
Endi, muvozangat holati mavjud bo’lmagan holda o’yinchilar qanday harakat qilishlari kerak degan savol paydo bo’ladi.
Bunday savolga o’yinchilarning o’z strategiyalarini tasoddifiy tanlashi orqali javob berish mumkin. Chunki, birinchidan tasodifiy tanlash strategiyaning maxfiyligini ta’minlasa, ikkinchidan oqilona qurilgan tasodifiy tanlash mexanizmidan foydalanish strategiyaning optimalligini ta’minlaydi.