4-ma’vzu bernulli tenglamasi. Toʻla differensial tenglama, integrallovchi koʻpaytuvchi. Reja

Misol.
Yechish.

1. 
   Oʻng tomonda y dan qutulish kerak.
   

2. 
   Konturga olingan qoʻshiluvchida y dan qutulish kerak, buning uchun almashtirish bajaramiz.
   
3. 
   
   

Natijada Bernulli differensial tenglamasidan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Bunday tenglamalarni yechish usullarini esa bilamiz.
2-usul. Bеrnulli tеnglamasining yechimini x ning ikkita funksiyasining ko‘paytmasi shaklida izlaymiz:
(4)
_(5)
(6)
(6) da
(7)
bo‘lishini talab qilamiz, u holda
. (8)
(7) va (8) tenglamalarni birgalikda yechib, (4) ga qo‘yib umumiy yechim topiladi.
2-misоl. diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini tоping.
►2-usulda yechamiz, , .
.

Sistemaning birinchi tenglamasini yechamiz: , so‘ngra ikkinchi tenglamasiga qo‘yamiz:
,
,


Demak, umumiy yechim
◄
3-usul. Bеrnulli tеnglamasining yechimini o‘zgaruvchini variatsiyalash usulida ham topish mumkin.
2. Rikkati tenglamasi.
Rikkati tenglamasi birinchi tartibli chiziqli boʻlmagan differensial tenglamalarning eng qiziqarlilaridan hisoblanadi.
Ushbu
(9)
ko`rinishdagi tenglamaga Rikkati differensial tenglamasi deyiladi. Bu yerda bo’lib, .
Agar bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama ushbu

ko’rinishni oladi. Bu esa chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamadir.
Agar bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama

ko’rinishni oladi. Bu esa Bernulli differensial tenglamasidir.
Umumiy holda Rikkati differensial tenglamasi kvadraturada integrallanmaydi.
Shuni alohida qayd qilish lozimki, ayrim xususiy hollardagina Rikkati differensial tenglamasini kvadraturada integrallanishini ko’rsatish mumkin. Jumladan 1841 yilda Liuvill ushbu

ko’rinishdagi Rikkati differensial tenglamasi kvadraturada integrallanuvchi bo’lishi uchun soni butun bo’lishi kerakligini ko’rsatib berdi. Ammo Rikkati differensial tenglamasining ayrim xossalarini o’rganishimiz mumkin.
Lemma-1. Rikkati tenglamasi quydagi:
1.
2. Kasr-chizqli

amashtirishlarga nisbatan ko’rinishini o’zgartirmaydi.
Isbot. 1. Ushbu tenglikning ikki tomonini differensiallab
,
munosabatlarni topamiz. Bu tengliklarni (9) differenasial tenglamaga qo’yib
(10)
differensial tenglamani hosil qilamiz. Bunda ushbu

belgilashlardan foydalansak (10) tenglama

ko’rinishni oladi. Bu esa Rikkati differensial tenglamasidir.
2. Berilgan kasr-chiziqli almashtirishning ikki tomonini differensiallab
(11)
differensial tenglamani topamiz. Berilgan kasr-chiziqli almashtirish natijasida ushbu

kvadrat uchhadning o’zgarishini aniqlaymiz:
. (12)
Yuqoridagi (9) differensial tenglamadan va (11) hamda (12) munosabatlardan foydalanib quyidagi

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik elementar amallar natijasida ushbu

ko’rinishni oladi. Bundan

kelib chiqadi. Bu esa Rikkati differensial tenglamasidir. ■