4-ma’vzu bernulli tenglamasi. Toʻla differensial tenglama, integrallovchi koʻpaytuvchi. Reja

Integrallovchi koʻpaytuvchi x oʻzgaruvchiga bogʻliq boʻlsa:

Bunday holda boʻlib, shuning uchun ham uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu tenglamaning oʻng tomoni faqat x ning funksiyasi
(27)
bo‘lsa, u holda funksiyani oxirgi tenglamani integrallash orqali topish mumkin, ya’ni

bo‘ladi.

2. 
   Integrallovchi koʻpaytuvchi y oʻzgaruvchiga bogʻliq boʻlsa:
   

Oldingi holatdagidek, bu holda boʻlib, shuning uchun ham uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu tenglamaning oʻng tomoni faqat y ning funksiyasi
(28)
bo‘lsa, , u holda funksiyani oxirgi tenglamani integrallash orqali topish mumkin, ya’ni

bo‘ladi.
4-misol. diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yechimini tоping.
►Bu yerda to‘la differensiallik sharti bajarilmaydi.(27) yoki (28) shartlarni tekshiramiz:
.
Demak, (27) shart bajariladi, formuladan foydalanamiz:


Berilgan tenglamani ga ko‘paytiramiz:

Hosil bo‘lgan tenglama to‘la differensial tenglama ekanini tekshiramiz:





yoki .
_Demak,
Berilgan tenglamaning umumiy yechimi esa
.◄

3. 
   Integrallovchi koʻpaytuvchi x va y oʻzgaruvchilarning aniq bir kombinatsiyalariga bogʻliq bolsa:
   

Yangi z(x,y) funksiya masalan quyidagicha koʻrinishlarda boʻlishi mumkin:

Bunda muhimi shundaki, integrallovchi koʻpaytuvchi bitta z oʻzgaruvchining funksiyasi sifatida keladi:

va quyidagicha differensial tenglamadan topiladi:

Oʻng tomon faqat z ga bogʻliq va maxraj nolga teng emas deb faraz qilinadi.
Misol. differensial tenglama yechhilsin.
Boshlanishida tenglama toʻla differensialli tenglama ekanligini tekshiramiz:

Koʻrinib turibtiki xususiy hosilalar bir-biriga teng emas, demak tenglama toʻla differensiallanuvchi tenglamaga kelmaydi. Toʻla differensiallanuvchi koʻrinishga olib kelish uchun integrallovchi koʻpaytuvchini tanlashga harakat qilib koʻramiz:
Quyidagicha funksiyani hisoblaymiz:

Koʻrinib turibtiki:
Ifoda faqat x oʻzgaruvchiga bogʻliq, demak integrallovchi koʻpaytuvchi ham faqat x ga bogʻliq boʻladi: , uni esa quyidagi tenglamadan topamiz:

=x ni tanlaymiz va berilgan differensial tenglamani x ga koʻpaytiramiz. Natijada toʻla differensialli tenglamaga kelamiz:

Endi toʻla differensiallilik sharti bajariladi:

u(x,y) funksiyani tenglamalar sistemasidan aniqlash mumkin:

Birinchi tenglamadan

Ushbu ifodani ikkinchi tenglamaga qoʻyib ni aniqlaymiz:

, bunda C – ixtiyoriy konstanta
Shunday qilib, differensial tenglamaning umumiy yechimi
.