4-ma’ruza Kompleks hadli qatorlar. Teylor qatori. Loran qatori. Yakkalangan maxsus

4-Misol. 

 ( )     (     )  funksiyani         nuqtaning  atrofida  darajali 

qatorga yoying. 

► Berilgan funksiyaning 

  tartibli hosilasi formulasini topamiz 

 

( )

( )   (

 

     

)

( )

  [(     )

  

]

( )

  (  )   (  )       (  )   (     )

    

  

hamda bu hosilaning nol nuqtadagi qiymatini topamiz 

 

( )

( )   (  )

 

      

    

 

U  holda 

 

 

 

 

( )

( )

  

  (  )

 

   

    

  ekanligini  nazarda  tutsak,  funksiyaning 

Teylor qatoriga yoyilmasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi 

---

 ( )  

 

     

   

 

   

(  )

 

   

    

   

 

   

 

   

(  )

 

 

   

 

 

 

Bu qatorning yaqinlashish radiusini topamiz 

   

 

   

̅̅̅̅

   

√ 

 

 

 

 

   

̅̅̅̅

   

√(  )

 

 

(    )

 

 

 

 

  

   

   

√ 

  

 

    

Demak, qatorning yaqinlashish sohasi |

 |     doiradan iborat ekan. ◄ 

5-Misol. 

 ( )  

 

( 

 

  )

 

 funksiyani 

    |     |     xalqada Loran qatoriga 

yoying. 

►Berilgan 

 ( )  funksiyani  (     )  ning  musbat  va  manfiy  darajalari 

bo’yicha  yig’indisi  ko’rinishida  ifodalashimiz  kerak.  Buning  uchun  funksiyani 

quyidagicha shakl almashtiramiz 

 

( 

 

   )

 

 

 

 

(

 

     

 

 

     

)

 

 

 

 

(

 

(     )

 

 

 

(     )

 

 

(     )

 

 

(     )

 

)  

Birinchi ikkita had kerakli ko’rinishga ega. Qolgan hadlarni shakl almashtiramiz. 

|     |     bo’lganligi uchun 

 

 

     

 

 

         

 

 

   

     

 

  

     

     

 

  (

     

 

)

 

      (  )

 

(

     

 

)

 

   

 

To’rtinchi hadni shakl almashtiramiz 

 

(     )

 

 

 

 

[    (

     

 

)]

  

 

bu  yerda  ham 

|

   

 

|      bo’lganligi  uchun,  binomial  yoyilmadan  foydalanib 

qatorga yoyamiz 

 

(     )

 

 

 

 

*       

     

 

 

  (      )

  

(

     

 

)

 

    + 

Barcha yoyilmalarni 

 ( ) funksiyaga qo’ysak 

 ( )  

 

( 

 

   )

 

 

 

 

(

 

(     )

 

 

 

(     )

 

 

(     )

 

 

(     )

 

)   

 

 

 

(

 

(     )

 

 

 

(     )

)  

 

  

 

 

  

(     )  

 

  

(     )

 

 

 

  

(     )

 

    

ko’rinishdagi Loran qatoriga yoyilmani hosil qilamiz. ◄ 

Yakkalangan maxsus nuqtalar 

2-Ta’rif. Agar 

 ( 

 

)     ,   

 

( 

 

)     ,…,  

(   )

( 

 

)     ,  

( )

( 

 

)     

munosabatlar  o’rinli  bo’lsa, 

 

 

  nuqta 

 ( )  funksiyaning     –  tartibli  noli  deb 

ataladi, va 

      bo’lsa,  

 

 oddiy nol deyiladi. 

Masalan, 

 

 

     nuqta   ( )          funksiya  uchun  oddiy  nol,     ( )  

        funksiya uchun esa ikkinchi tartibli nol bo’ladi. 

---

5-Teorema. 

 

 

 nuqta 

 ( ) analitik funksiyaning   tartibli noli bo’ladi faqat 

va faqat shu holda, qachonki funksiyani 

 

 

 nuqtaning atrofida  

 ( )   (     

 

)

 

 ( ) 

ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu yerda 

 ( )  

 

 nuqtada analitik funksiya 

va 

 ( 

 

)    . 

 

3-Ta’rif.  Agar 

     

 

  nuqtaning  shunday  atrofi  mavjud  bo’lib,  bu  atrofda 

funksiya 

     

 

 nuqtadan tashqari barcha nuqtalarda analitik bo’lsa, 

 

 

 nuqta 

 ( ) 

funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi. 

     

 

 yakkalangan maxsus nuqta bo’lsa, yuqorida isbot qilingan teoremaga 

ko’ra 

 ( ) funksiyani     |     

 

|     xalqada 

 ( )    

 

    

 

 

(     

 

)

 

 

ko’rinishda Loran qatoriga yoyish mumkin. Bu yoyilmaning bosh qismi uchun uch 

xil holat bo’lishi mumkin: 

a) Loran qatorida 

     

 

 ning manfiy darajalari ishtirok etmaydi; 

b)  Yoyilmaning  tarkibida 

     

 

  ning  chekli  sondagi  manfiy  darajalari  ishtirok 

etadi;

  

s) Yoyilmada 

     

 

 ning cheksiz sondagi manfiy darajalari ishtirok etadi 

Yuqoridagilarga  ko’ra  funksiyaning  maxsus  nuqtalari  uch  turga  bo’linadi. 

Biz bu hollarning har birini alohida qarab chiqamiz. 

1. 

Funksiyaning 

 

 

  nuqta  atrofidagi  Loran  qatoriga  yoyilmasida  manfiy 

darajali hadlar yo’q, ya’ni 

 ( )    

 

   

 

 

(     

 

)

 

 

Bunday  nuqtaga  tuzatib  bo’ladigan  maxsus  nuqta  deb  ataladi.  Ko’rinib 

turibdiki,   

     

 

  da  funksiyaning  chekli  limiti  mavjud  va 

   

   

 

 ( )    

 

.  Agar 

funksiya 

 

 

 nuqtada aniqlanmagan yoki aniqlansa ham qiymati boshqa son bo’lsa, 

unga 

 

 

  nuqtada 

 

 

  qiymat  bersak,  ya’ni 

 ( 

 

)    

 

  deb  olsak  funksiya  analitik 

bo’lib qoladi. Bajarilgan amal yordamida funksiyaning uzilishini tuzatdik. Ana shu 

sababga ko’ra bunday maxsus nuqtani tuzatib bo’ladigan deyiladi.  

Shunday qilib quyidagi teoremani isbotladik. 

6-Teorema.  Agar 

 

 

  nuqta 

 ( )  funksiyaning  tuzatib  bo’ladigan  maxsus 

nuqtasi bo’lsa, u holda 

   

   

 

 ( )    

 

 chekli limit mavjud. 

2. 

Funksiyaning 

 

 

  nuqta  atrofidagi  Loran  qatoriga  yoyilmasida  chekli 

sondagi manfiy darajali hadlar ishtirok etadi, ya’ni 

 ( )    

 

    

 

 

(     

 

)

 

 

bo’lsa 

 

 

  funksiyaning  qutb  maxsus  nuqtasi  deyiladi.  Agar  bu  yerda 

 

  

    

bo’lsa, 

 

 

  ga 

   tartibli  qutb  maxsus  nuqta  deb  ataladi.         da  oddiy  qutb 

deyiladi.  

7-Teorema. Agar 

 

 

 funksiyaning qutb maxsus nuqtasi bo’lsa, u holda  

   

   

 

 ( )     

bo’ladi. 

---

Shuni ta’kidlashimiz lozimki, funksiyaning nollari va qutblari o’zaro bog’liq 

bo’lib ular uchun quyidagi teorema o’rinli. 

8-Teorema. 

 

 

 nuqta 

 ( ) funksiyaning qutb maxsus nuqtasi bo’lishi uchun 

 ( )  

 

 ( )

 funksiyaning noli bo’lishi zarur va etarli. 

Bu  teoremaning  isboti  cheksiz  kichik  va  cheksiz  kattalarning  o’zaro 

bog’liqligidan kelib chiqqanligi uchun uni qoldiramiz. 

Ravshanki, 

 

 

  nuqta 

 ( )  funksiyaning   (     )  tartibli  qutb  nuqtasi 

bo’lsa, 

 ( )  

 

 ( )

 funksiyaning 

  tartibli noli bo’ladi. 

3. 

Funksiyaning 

 

 

  nuqta  atrofidagi  Loran  qatoriga  yoyilmasida  cheksiz 

sondagi manfiy darajali hadlar ishtirok etadi, ya’ni 

 ( )    

 

    

 

 

(     

 

)

 

 

bo’lsa 

 

 

 ga funksiyaning muhim maxsus nuqtasi deb ataladi. 

Bunday holda 

     

 

  da funksiya hech qanday limitga ega bo’lmaydi. 

Yakkalangan  maxsus  nuqta  atrofida  analitik  funksiyani  Loran  qatoriga 

yoyishning yuqorida qaralgan uchta holi mumkin bo’lgan barcha hollarni qamrab 

oladi  va  ular  maxsus  nuqta  atrofida  analitik  funksiyaning  o’zini  tutishini 

aniqlashda asosiy ahamiyatga ega.  

Yuqorida  olib  borilgan  tahlillardan  yakkalangan  maxsus  nuqtaga  nisbatan 

ikki  xil  yondashish  mumkinligi  kelib  chiqadi.  Biz  funksiyani  maxsus  nuqta 

atrofida  Loran  qatoriga  yoyib,  so’ngra  bu  nuqta  atrofida  funksiya  o’zini  qanday 

tutishini  tahlil  qildik.  Teskari  yondashuv  ham  mumkin  bo’lib,  unga  ko’ra  asos 

sifatida yakkalangan maxsus nuqta atrofida funksiyaning o’zini tutishi olinadi. Bu 

holda yuqoridagi 6 va 7-Teoremalarga teskari teoremani isbotlash mumkin. 

Cheksiz uzoqlashgan nuqta 

 ( ) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi 

deb  ataladi,  agar  shunday 

   mavjud  bo’lsaki,  funksiya  | |      sohada           

nuqtadan  chekli  masofada  joylashgan  maxsus  nuqtaga  ega  bo’lmasa.  Chekli 

yakkalangan  nuqtalar  holidagi  kabi,  bu  holda  ham  maxsus  nuqtalarni  sinflarga 

ajratamiz.  Buning  uchun 

     | |      xalqada  analitik  bo’lgan   ( )  funksiyani 

Loran qatoriga yoyamiz 

 ( )    

 

    

 

 

 

 

  

 

Cheksizlik  -  yakkalangan  maxsus  nuqta  uchun  quyidagi  ta’riflarni  qabul 

qilamiz.      Cheksiz  uzoqlashgan  nuqtaning  atrofi  deyilganida 

    | |      soha, 

ya’ni |

 |     doiraning tashqarisi tushuniladi. 

4-Ta’rif.    Agar 

 ( )  funksiyaning  cheksiz  uzoqlashgan  nuqta  atrofidagi 

Loran qatoriga yoyilmasida 

  ning musbat darajalari ishtirok etmasa: 

 ( )    

 

    

 

 

 

 

  

cheksizlik  -  yakkalangan  maxsus  nuqta  bu  funksiyaning  tuzatib  bo’ladigan 

maxsus nuqtasi deyiladi.  

       5-Ta’rif.  Agar 

( )  funksiyaning cheksiz uzoqlashgan nuqta atrofidagi Loran 

qatoriga yoyilmasi 

---

 ( )    

 

    

 

 

 

 

 

          

 

    

ko’rinishda  bo’lsa,  cheksizlik  -  yakkalangan  maxsus  nuqta  bu  funksiyaning  qutb 

maxsus nuqtasi deyiladi,                                

6-Ta’rif.  Agar 

 ( )  funksiyaning  cheksiz  uzoqlashgan  nuqta  atrofidagi 

Loran qatoriga yoyilmasi  

 ( )    

 

    

 

 

 

 

 

ko’rinishda  bo’lsa,  cheksizlik  -  yakkalangan  maxsus  nuqta 

 ( )  funksiyaning 

muhim maxsus nuqtasi deyiladi, 

Cheksizlik 

 ( )  funksiyaning  yakkalangan  maxsus  nuqtasi  va     

 

 

 

inversiya almashtirishi bo’lsin. Bu almashtirish 0 ni 

  ga o’tkazadi va aksincha. 

Agar 

 ( )     (

 

 

)  funksiya  uchun           tuzatib  bo’ladigan,  qutb  yoki  muhim 

maxsus nuqta bo’lsa, u holda cheksizlik 

 ( ) uchun xuddi shunday maxsus nuqta 

bo’ladi.  

6-Misol. 

 ( )  

    

 

 

    funksiyaning  maxsus  nuqtalari  va  ularning  turini 

aniqlang. 

►  Funksiyaning  berilishidan  ma’lumki,  uning  bitta 

       maxsus  nuqtasi 

bo’lib,  u  qutb  maxsus  nuqta  bo’ladi.  Qutbning  tartibi  ikkiga  teng,  chunki 

      

funksiyaning yoyilmasidan foydalanib yozsak 

 ( )  

     

 

 

 

 

 

 

(   

 

 

  

 

 

 

  

      (  )

   

 

    

(      ) 

    )   

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

      (  )

   

 

    

(      ) 

    

Bu berilgan funksiyaning Loran qatori bo’lib, qutbning tartibi ikki bo’ladi. ◄ 

7-Misol. 

 ( )  

 

       

 funksiyaning qutblari va ularning turlarini aniqlang. 

► Ko’rinib turibdiki  funksiya yagona 

      maxsus nuqtaga ega bo’lib, 7-

Teoremaga asosan u qutb nuqta bo’ladi, chunki 

   

   

 ( )      

   

 

         

    

Uning  tartibini  aniqlash  uchun 

 ( )              funksiyani  qaraymiz.  Bu 

funksiya uchun 

 ( )      

 

 

( )                  

 

( )      

  ( )         ,    ( )      

 

   

( )          

 

   

( )          

Demak, 

      nuqta  ( ) funksiyaning uchinchi tartibli noli bo’ladi.  

8-Teoremaga  asosan, 

       nuqta   ( )  funksiyaning  qutb  maxsus  nuqtasi 

bo’lib, uning tartibi uchga teng. ◄