3. Limitik nuqta. Ko`p o`zgaruvchili funksiya

1-ta’rif. Agar tenglik bajarilsa, f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksiz deyiladi.
2-ta’rif. Agar ixtiyoriy 𝜖>0 soni uchun shunday δ>0 soni topilib S_δ(x₀) shartga qarashli barcha x lar uchun │f(x)-f(x₀)│ >𝜖 tengsizlik bajarilsa f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksiz deyiladi.
2-ta’rif 1-ta’rifdan funksiya limitining ^‘’𝜖-δ tilidagi (Koshi) ta’rifidan bevosita kelib chiqadi. Funksiya limitining to’plam bo’yicha ta’rifidan foydalanib, funksiya uzluksizligining ham to’plam bo’yicha ta’rifini berishimiz mumkin.
3-ta’rif. f(x) funksiya to’plamda aniqlangan va x⁰ nuqta biror O(x⁰) atrofi bilan M to’plamga qarashli bo’lsin. Agar bo’lsa, u holda f(x) funksiya x⁰ nuqtada M to’plam bo’yicha uzluksiz deyiladi. Agar x⁰ nuqta M to’plmaning ajralgan nuqtasi bo’lsa, u holda f(x) funksiya x⁰ nuqtada M to’plam bo’yicha uzluksiz deyiladi.
1-misol.
f(x,y)=
funksiyani (0,0) nuqtada ixtiyoriy nur bo’yicha uzluksiz, lekin (0,0) nuqtada uzilishga ega ekanligini ko’rsating.
Yechish. 14-§ dagi 4-misolga ko’ra bu funksiya (0,0) nuqtada limitga ega emas. Shuning uchun 14-§ dagi 6-misolga ko’ra bu funksiyaning (0,0) nuqatada ixtiyoriy nur bo’yicha limiti mavjud va u nolga teng. Demak, bu funksiya (0,0) nuqatada ixtiyoriy nur bo’yicha uzluksiz.
Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning nuqtada uzluksizligi haqidagi asosiy teoremalar (masalan, uzluksiz funksiyalar yig’indisining uzluksizligi va hakozo) bir o’zgaruvchili funksiyalar uchun qanday isbotlangan bo’lsa shunga o’xshash isbotlanadi.
2.Murakkab funksiyaning uzluksizligi.
1-teorema. fazoning nuqtasining biror atrofida funksiyalar aniqlangan bo’lib, bu funksiyalar nuqtada uzluksiz bo’lsin. funksiya nuqtaning atrofida aniqlangan va nuqtada uzluksiz bo’lsin. U holda nuqtaning biror atrofida murakkab funksiya aniqlangan bo’ladi hamda bu funksiya nuqtada uzluksiz bo’ladi.