3. Limitik nuqta. Ko`p o`zgaruvchili funksiya

Funksiyaning nuqtadagi limiti. fazodagi nuqtaning o`zida saqlovchi ixtiyoriy ochiq to`plamni nuqtaning atrofi diyladi. Agar to`plamdan nuqtani chiqarib tashlasak hosil bo`lgan to`plamni nuqtaning o`yilgan atrofi atrofi diyladi va kabi belgilanadi, ya’ni
.
1-ta`rif. funksiya nuqtaning biror o`yilgan atrofda anqlangan bo`lsin. Agar tengsizlikni qanotlantiruvchi tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning dagi limiti deyiladi va
yoki

kabi yoziladi.
2-ta`rif. Agar hadlari sharning qanotlantiruvchi va bo`lgan ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo`lsa, soni funksiyaning dagi lementi deyiladi va yoki kabi yoziladi.
Agar ikki argumentli funksiyaning nuqtadagi limiti soniga teng bo`lsa, u hold

kabi yoziladi va A-soni ko`pincha uni kerakli limiti deyiladi.
1-lemma. va funksiyalari da aniqlangan bo`lib shartni qanotlantirsin. Agar bo`lsa, u holda bo`ladi.
Isbot. bo`lganligi uchun bo`ladi. U holda ya`ni
1-Misol. tenglikni isbotlang.
son uchun deb olsak,
bo`ladi, ya`ni bo`ladi.
2-Misol. ekanligini ko`rsating. , bo`lganligi uchun da м tengsizlikning olamiz. 1-misolga asosan chunki . 1-lemmaga asosan ekanligini olamiz .
3-misol. funksiya ga intilganda limitga ega ekanligini ko’rsating .
Yechlishi: va nuqtalar ketma-ketliklari nuqtaga yaqinlashadi. Ularga mos funksiyaning qiymatlardan tuzilgan va ketma-ketliklar mos ravshda, ko`rinib turibdiki 1 va -1 ga intiladi. Bu esa 2-ta`rif bajorilayotganini bildiradi. Demak bu funksiya da limitga ega emasligini bildiradi.