3. Limitik nuqta. Ko`p o`zgaruvchili funksiya

4-temma. fazoda ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lishi uchun uning fundamental bo`lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. bo`lsin. U holda , , va tengsizliklar bajariladi. Shuning uchun va lar uchun uchburchak tengsizligiga ko’ra

Yetarliligi. Agar ketma-ketlik fundamental bo`lsa, u holda ketma-ketliklar ham fundamental bo`ladi. Haqiqatdan ham, , , tengsizligi bajarilganligi uchun va

munosabatdan tetma-ketliklarning fundamental ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan sonli ketma-ketliklar uchun Koshi kirteriyasiga ko`ra tetma-ketliklarning yaqinlashishi kelib chiqadi. Bu yirdan lemmaga asosan tetma-ketlikning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
3. fazoda ochiq va yopiq tuplamlar.
M - fazoning biror to`plami va bo`lsin. Agar shunday soni topilib, markazi nuqtada va radusi ga teng bo`lgan shar M to`plamga qarashli bo`lsa, u holda nuqta to’plamning ichki nuqtasi deyiladi. to`plamning barcha ichki nuqtalari uning ichki nuqtalari to`plami deyiladi va kabi belgilanadi. Ravshanki Agar bo`lsa, ya`ni to`plamning barcha nuqtalari ichki nuqtalaridan iborat bo`lsa, u holda M to’plam ochiq to’plam deyiladi.

C
1-misol. sharning ochiq to`plam ekanligini ko`rsating.
Yechish: sharga qarashli ixtiyoriy nuqtani olaylik bo`lganligi uchun radusli va markazi bo`lgan Sharning munosabatni qanoatlantirishini ko`rsatamiz. Agar bo`lsa, u holda bo`ladi. Uchburchak tengsizligiga ko`ra
munosabat o`rinli. Demak , x-nuqtada sharning ixtiyoriy nuqtasi bo`lganligi uchun bo`ladi. Bu esa nuqtaning ichki nuqta ekanligini bildiradi. nuqtaning ixtiyoriyligidan, sharning ochiq to`plam ekanligi kelib chiqadi.
1-teorema: fazoda ochiq to`plam quyidagi xossalarga ega.
fazo va to`plam ochiq to`plamdir.
. Ochiq to`plamning ixtiyoriy to`plamning birlashmasi ochiq to`plamdir.
Chekli sondagi ochiq to`plamlarning kesishmasi ochiq tuplamdir.
Isbot: xossaning isboti ko`rinib turibdi. xossani isbotlaymiz. Ochiq to`plamning birlashmasini qaraylik bo`lsin. U holda shunday topilib boladi. Lekin ochiq tuplam bo`lganligi uchunshunday shar topilib bo`ladi bo`lganligi uchun bo`ladi. Demak tuplamning ichki nuqtasi bo`lar ekan. nuqtaning ixtiyoriyligidan to`plamning ochiq to`plam ekanligi kelib chiqadi.
xossani isbotlaymiz. ochiq to`plamlar berilgan va bo`lsin. Ixtiyoriy nuqtani olsaku, bu nuqta bo`ladi to`plamlar ochiq to`plam bo`lganligi uchun, sharni qanotlantiruvchi sharlar topiladi. belgilashni kirtsak sharning barcha to`plamlarga qarashli ekanligi kelib chiqadi shuning uchun.

munosabatning olishimiz mumkun. Bu esa G ning ochiq to`plam ekanligini bildiradi.