3-laboratoriya ishi Ko‘p o‘zgaruvchili chiziqli regression modellar. Ko‘p o‘zgaruvchili chiziqli regression modellarda parametrlarni baholash

Hal qiluvchi qoida: agar bo‘lsa, i chi prediktor sinovdan o‘tgan hisoblanib modelda qoldiriladi, aks holda bu prediktorni yoki u bilan kuchli korrelyatsiyalangan boshqa prediktorni modeldan chiqarib tashlashga to‘g‘ri keladi.
Namuna O’zbekiston Respublikasining Xorazim viloyatining jami aholi soni o’rganildi.Bu jadvalda biz shu 2000-2021-yillar orasidagi hisobotini ko’rishimiz mumkin va bu natijalar 5 ta ko’rsatkich asosida tuzildi:
X1 Iqtisodiy faol aholi soni
X2 Ishsizlar
X3 Ko’chib ketganlar xorijga
X4 Ko’chib kelganlar xorijdan
Y Jami aholi soni

Yillar	X1	X2	X3	X4	Y
2000	463,7	2,5	627	75	1323,9
2001	472,1	3,8	846	51	1347,7
2002	483,0	4,7	1371	39	1369,3
2003	497,0	6,6	1652	39	1390,9
2004	514,8	8,2	1732	37	1410,3
2005	527,2	4,9	2203	72	1432,8
2006	541,0	3,0	1329	48	1453,9
2007	581,7	28,1	1587	48	1477,8
2008	599,2	28,1	766	49	1504,2
2009	620,4	32,2	901	56	1530,8
2010	642,0	35,3	771	79	1561,6
2011	659,8	34,6	810	86	1601,1
2012	679,1	35,7	784	104	1629,1
2013	697,5	37,1	624	82	1653,8
2014	717,8	39,2	605	83	1684,1
2015	735,5	39,5	448	51	1715,6
2016	754,7	41,4	365	74	1746,9
2017	773,3	44,0	226	64	1776,7
2018	786,0	74,2	244	75	1805
2019	810,0	73,5	259	32	1835,7
2020	804,5	88,1	543	2	1866,5
2021	806,4	80,1	398	7	1893,3

Manba: https://stat.uz/uz/rasmiy-statistika/living-standards-2

Universitet reytingi (Y) korrelyatsiya matritsasi
Minitab dasturi yordamida masalamizning korrelyatsiya matrisasini hosil qilamiz:

	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1,00000	0,99675	0,93305	-0,73020	0,29165
X1	0,99675	1,00000	0,93854	-0,74124	0,31863
X2	0,93305	0,93854	1,00000	-0,72683	0,22894
X3	-0,73020	-0,74124	-0,72683	1,00000	-0,31291
X4	0,29165	0,31863	0,22894	-0,31291	1,00000

Ushbu masaladagi korrelyatsiya matritsasining ko‘rinishi 5x5 ko‘rinishida. Jadvalda yoritilgan 1,0 qiymati o‘zgaruvchi o‘zi bilan 100% korrelyatsiyalanganligini bildiradi.

Korrelyatsiya matritsasiga ko‘ra birinchi o‘zgaruvchi (X₁), ya’ni Iqtisodiy faol aholi soni jami aholi soni reytingi (Y) bilan kuchli korrelyatsiyalangan (r₁₂=0,99675), shuning uchun “yaxshi” prediktor sifatida olsak bo‘ladi.
Ikkinchi o‘zgaruvchi X₂ ya’ni Ishsizlar soni ham jami aholi soni reytingi (Y) bilan kuchli korrelyatsiyalangan (r₁₃=0,93305), shuning uchun bu prediktorni ham “yaxshi” prediktor sifatida olsak bo‘ladi.
Qolgan prediktorlar jami aholi soni reytingi (Y) bilan kuchsiz korrelyatsiyalangan. Shuning uchun ularni “yaxshi” prediktor sifatida ola olmaymiz.
Regression Analysis: Y versus x1; x2

Analysis of Variance

Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value

Regression 2 674739 337370 828,42 0,000
x1 1 65160 65160 160,00 0,000
x2 1 2105 2105 5,17 0,035
Error 19 7738 407
Total 21 682477
Model Summary

S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred)

20,1803 98,87% 98,75% 98,45%
Coefficients

Term Coef SE Coef T-Value P-Value VIF

Constant 735,4 50,8 14,47 0,000
x1 1,274 0,101 12,65 0,000 7,57
x2 1,048 0,461 2,27 0,035 7,57
Regression Equation

Y = 735,4 + 1,274 x1 + 1,048 x2

Fits and Diagnostics for Unusual Observations

Std
Obs Y Fit Resid Resid

22 1893,30 1846,88 46,42 2,61 R
Taklif etilgan model uchun chiziqli regressiya tenglamasi quyidagicha:
_{Y=735,4+1,274X1+1,048X2}
X₁ – iqtisodiy faol aholi;
X₂ – ishsizlar;
Y ning X₁ va X₂ prediktorlar bilan ko‘p o‘zgaruvchi determinatsiyasi koeffitsiyenti foizi R²=98,87% ga teng. Bundan iqtisodiy faol aholi va ishsizlar soni jami aholi reytingi ulushi (%) yordamida topildi.
Xulosa
Ekonometrikaga oid tahlildan so‘ng quyidagicha xulosaga kelindi. Ushbu masala uchun 5 ta eng asosiy ahamiyatga ega bo‘lgan prediktorlar tanlab olindi va tahlildan o‘tkazildi. Dastlab, prediktorlar yordamida korrelyatsiya matritsasi qurildi va u bashorat uchun eng muhim prediktorlarni aniqlab olishga yordam berdi. Ushbu shartga ko‘ra bashorat uchun tanlangan prediktorlarning bog‘liq o‘zgaruvchi bilan korrelyatsiya koeffitsiyenti kuchli va o‘zaro korrelyatsiya koeffitsiyentlari esa kuchsiz (VIF tahlildan o‘tadigan) bo‘lishi kerak. Korrelyatsiya matritsa tahlili shartlariga ko‘ra modelda multikollinearlik mavjud bo‘lmasada,o‘qitish tizimiX₁ va X₂o‘zaro kuchli korrelyatsiyalangan edi.
Chiziqsiz regressiya modellari. Chiziqsiz regressiya
koeffitsiyentlarini baholash

Laboratoriya ishi uchun topshiriqlar:

1. 
   Ishonchli manbalardan hajmi kamida 20 ta bo‘lgan X va Y ma’lumotlar oling.
   
2. 
   Ushbu ma’lumotlar orasidagi bog‘lanishni aniqlang. Nuqtaviy diagrammasini chizing.
   
3. 
   Ushbu ma’lumotlar asosida oddiy regression model quring, determinatsiya koeffitsiyentini aniqlang.
   
4. 
   XvaY ma’lumotlar orasida parabolik regression model va kubik regression modellarni quring.
   
5. 
   Ushbu ma’lumotlar orasidagi eksponensial regression model va logarifmik regression modellarni quring.
   
6. 
   Yuqorida olingan modellarni solishtiring va eng yaxshi modelni aniqlang. Barcha ishlar bo‘yicha xulosa chiqaring.
   

Regressiya koeffitsiyentlari va xatolikka nisbatan chiziqli bo‘lgan model erkin o‘zgaruvchilarga nisbatan chiziqli bo‘lmasligi ham mumkin. Bunday model egri chiziqli model deyiladi.

Egri chiziqli modellarning asosiylaridan biri bu polinomial regressiya modelidir:
Y = ₀ + ₁X +₂X²+ ... + _kX^k + .
Bu modelda k ko‘phadning tartibi. Regressiya tenglamasidagi erkin o‘zgaruvchi darajasining eng yuqori tartibi polinomial modelning tartibiga mos keladi. Masalan, oddiy chiziqli regressiya modelini birinchi tartibli polinom yoki ko‘phad deb atash mumkin:
Y ₀₁X .
Ikkinchi tartibli polinom yoki parabolik model:
Y = ₀ + ₁X +₂X²+,
bu yerda: Y – bog‘liq o‘zgaruvchi;
X – erkin o‘zgaruvchi;
₀ Y–kesim;
₁ parabolaning siljishi;
₂ egrilik koeffisiyenti;
 – tasodifiy xatolik.
Agar ijtimoiy - iqtisodiy hodisalar o‘rtasida to‘g‘ri chiziqlidan boshqa turdagi bog‘lanish mavjud bo‘lsa, u holda ularga mos funksional bog‘lanishning bahosini to‘g‘ri chiziqli bo‘lmagan modellar orasidan topish mumkin.
To‘g‘ri chiziqli bo‘lmagan regressiyani ikki sinfga ajratib o‘rganiladi:

1. 
   Modelga kiritilgan tushuntiruvchi o‘zgaruvchilarga nisbatan chiziqli bo‘lmagan, lekin baholanadigan parametrlarga nisbatan chiziqli regressiya, masalan
   

• 
  parabola: ;
  
• 
  polinomialfunksiya:  ;
  
• 
  teng tomonli giperbola:  ;
  
• 
  yarim logarifmik funksiya: ;
  
• 
  ildizli funksiya: 
  

2. 
   Baholanayotgan parametrlarga nisbatan chiziqli bo‘lmagan regressiya: masalan,
   

• 
  ko‘rsatkichli funksiya:  ;
  
• 
  eksponensial funksiya: ;
  
• 
  logistik funksiya:  ;
  
• 
  umumlashgan darajali funksiya:
  

Misol.O’zbekiston Respublikasining Xorazm viloyati 2000-2021- yillar o’rasida ko’chib kelganlar xorijdan va ko’chib ketganlar xorijga haqida malumot berilgan . Bunda ko’chib kelganlar X ko’chib ketganlarni Y bilan belgilaymiz

Yillar	Ko’chib kelganlar xorijdan X	Ko’chib ketganlar xorijga Y
2000	75	627
2001	51	846
2002	39	1371
2003	39	1652
2004	37	1732
2005	72	2203
2006	48	1329
2007	48	1587
2008	49	766
2009	56	901
2010	79	771
2011	86	810
2012	104	784
2013	82	624
2014	83	605
2015	51	448
2016	74	365
2017	64	226
2018	75	244
2019	32	259
2020	2	543
2021	7	398

Nuqtali diagramma chizamiz:

Nuqtali diagrammadan ko‘rinib turibdiki, X vaY o‘zaro musbat korrelyatsiyalangan bog‘langan.

Chiziqli model
Chiziqli modelni quramiz. Bu bizga bu ikki o‘zgaruvchi qanday chiziqli bog‘langanligini ko‘rsatadi.

Chiziqli modelda Y X orqali ifodalanadigan regressiya tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
Y=953,2-1,501X.
Kvadratik model

Kvadratik model tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Y= 545,0+ 19,09 * X – 0,1981 * X².
.
Kubik model

Berilgan masala uchun kubik model tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
Y= 247,2 +59,60*X -1,196*X² +0,006491*X³.
Umumiy xulosa
Biz yuqorida bir nechta modellarni ko‘rib chiqishimizdan maqsad ma’lum masofani bosib o‘tish uchun (Y) ni (X) orqali eng yaxshi tushuntiradigan modelni tanlash edi. Eng yaxshi modelni aniqlashimiz uchun bizga har bir modeldagi determinatsiya koeffitsentlarining qiymatlarini taqqoslab chiqish kifoya. Qaysi modelda shu qiymat eng katta bo‘lsa o‘sha model biz uchun eng yaxshi model hisoblanadi. Chunki bu qiymat X prediktor Y bog`liq o‘zgaruvchining berilgan regressiya tenglamasi yordamida necha foizini tushintirib berishini anglatadi.
Masalani yechish jarayonida shuni aniqladikki, bizning masalamizda eng yaxshi model bu kubik model ekan. Bu modelda prediktor va tushuntiriluvchi o‘zgaruvchi kuchli korrelyatsiyalangan bog`liqlik mavjud. Shuningdek bu model uchun deteminatsiya koeffitsiyenti foizda 16,5% ga teng ekanligini yuqorida hisoblab topdik.