3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari
1. Ushbu paragrafda biz yaqinlashmaydigan ketma-ketliklarni o'rganamiz. Ko'pgina amaliy masalalarni yechishda aynan shunday ketma-ketliklarni o'rganishga to'g'ri keladi. Ba'zan bu ketma-ketliklar biror songa yaqinlashishi uchun ularni «qismlarga ajratish» yetarli bo'ladi. Ana shu o'rinda hosil bo'ladigan limitlarga qismiy limitlar deyiladi.
Ketma-ketlik limitga ega bo'lsa, u yaqinlashuvchi deyilar edi. Ravshanki, agar ketma-ketlik yaqinlashsa, u yagona limitga ega. Haqiqatan ham, agar u ikkita va limitlarga ega deb faraz qilsak,

bo'ladi va bundan

ni olamiz. Demak, , ya'ni ekan.
Ammo uzoqlashuvchi ketma-ketliklarda qismiy limitlar ko'p bo'lishi mumkin. Qismiy limitga aniq ta'rif berish uchun qismiy ketmaketlik tushunchasini kiritamiz.
Ixtiyoriy qat'iy o'suvchi natural sonlar ketma-ketligini tanlaymiz, ya'ni

Ta'rif. Agar ketma-ketlik berilgan bo'lsa, ketma-ketlik ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi.
Masalan, va ketma-ketliklar berilgan ketma-ketlikning har xil, ya'ni biri toq nomerdagi va ikkinchisi juft nomerdagi elementlaridan tashkil topgan ikki qismiy ketma-ketliklaridir.
Ta'rif. Agar ketma-ketlikning a soniga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketligi mavjud bo'lsa, a son ketma-ketlikning qismiy limiti deyiladi.
3 - misol. bo'lsin. U holda juft nomerli

qismiy ketma-ketlik 1 soniga yaqinlashadi, toq nomerli

qismiy ketma-ketlik esa soniga yaqinlashadi. Shuning uchun 1 va sonlar ketma-ketlikning qismiy limitlari bo'ladi.
2. Endi ketma-ketlik uchun limit nuqta tushunchasini kiritamiz. Dastlab yozuvni soddalashtirish maqsadida quyidagi atamalashga kelishib olaylik.
Faraz qilaylik, - sonlar o'qining ixtiyoriy qismiy to'plami va - biror ketma-ketlik bo'lsin. Agar shunday cheksiz ko'p turli nomerlar topilsaki, ketma-ketlikning bu nomerlarga mos kelgan elementlari to'plamga tegishli bo'lsa, biz to'plamda ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari yotadi deymiz.
Bu kiritgan ta'rifimiz to'plamlar nazariyasida qabul qilingan an'anaviy atamadan farq qiladi. Misol uchun, agar to`plam faqat bitta nuqtadan iborat bo'lsa, to'plamlar nazariyasi nuqtayi nazaridan u cheksiz ko'p nuqtaga ega bo'la olmaydi. Ammo yuqoridagi kelishuvga ko'ra, to' plamda ketma-ketlikning cheksiz ko'p, ya'ni barcha juft nomerli elementlari yotadi.
Sonlar o'qidagi a nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o'z ichiga oluvchi ixtiyoriy intervalga aytilishini eslatamiz. Biz a nuqtaning atrofi deganda intervalni tushunamiz va bunda doim deb hisoblaymiz.