|
Eslatma. 1.6.1 – teorema(Barcha ratsional sonlar to`plami sanoqlidir)ga asosan elementlari barcha ratsional sonlardan iborat bo'lgan ketma-ketlik mavjud. Boshqacha aytganda, bu ketma-ketlik quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
(i) har bir - ratsional son,
(ii) har bir ratsional son biror bilan ustma-ust tushadi,
(iii) agar bo'lsa, bo'ladi.
Aniqki, bu ketma-ketlik chegaralanmagan va qizig'i shundaki, uning limit nuqtalari sonlar o'qi bilan ustma-ust tushadi.
Chegaralanmagan ketma-ketliklar ichida eng ahamiyatlisi cheksiz katta ketma-ketliklardir.
Ta'rif. Agar istalgan haqiqiy A soni uchun shunday nomer topilsaki, barcha larda ketma-ketlikning hadlari
(39)
tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikka cheksiz katta deyiladi.
Quyidagi tasdiqqa asosan cheksiz katta ketma-ketliklarni o'rganishni, ma'lum ma'noda, cheksiz kichik ketma-ketliklarni o'rganishga olib kelish mumkin.
7- teorema. Agar ketma-ketlik cheksiz katta bo'lsa, biror nomerdan boshlab ketma-ketlik aniqlangan bo'lib, u cheksiz kichik ketma-ketlik bo'ladi.
Isbot. Shartga ko' ra - cheksiz katta ketma-ketlik bo'lsin. U holda istalgan uchun (39) da desak, biror nomerdan boshlab,
baho o'rinli bo'ladi.
Demak, larda ketma-ketlik elementlari noldan farqli bo'lib,
(40)
shartni qanoatlantiradi. (40) tengsizlik esa cheksiz kichik ketma-ketlik ekanini anglatadi.
Teskari tasdiq o'rinli bo'lishi uchun biz "ketma-ketlikning elementlari noldan farqli bo'lsin" degan tabiiy qo'shimcha shartni talab qilishimiz zarur.
8 - teorema. Agar ketma-ketlik cheksiz kichik bo'lib, biror nomerdan boshlab shart bajarilsa, u holda shu nomerdan boshlab ketma-ketlik aniqlangan bo`lib, u cheksiz katta bo'ladi.
Isbot. Shartga ko'ra cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lsin. Bundan chiqdi, istalgan uchun shunday nomer topiladiki, larda
(41)
tengsizlik bajariladi.
Yana shartga ko'ra kerak bo'lsa nomerni kattaroq olib, biz larda shart bajariladi deb hisoblashimiz mumkin. Agar avvaldan berilgan ixtiyoriy musbat son bo'lsa, (41) da deb, lar uchun
tengsizlikni olamiz. Uni quyidagi ko'rinishda qayta yozishimiz mumkin:
Bu tengsizlik esa cheksiz katta ketma-ketlik ekanini anglatadi.
Cheksiz katta ketma-ketlikka misol sifatida ketma-ketlikni, ya'ni
ketma-ketlikni olish mumkin.
E'tibor bering, bu ketma-ketlikning hadlari cheksiz marta ishorasini o'zgartiryapti. Elementlari chekli sonda ishorasini o'zgartiradigan cheksiz katta ketma-ketliklar alohida sinfni tashkil qiladi. Bunday ketma-ketliklarni, o'z navbatida, ikki sinfga ajratish mumkin:
birinchi sinfga biror nomerdan boshlab barcha elementlari musbat bo'lgan cheksiz katta ketma-ketliklarni kiritamiz;
ikkinchi sinfga esa biror nomerdan boshlab barcha elementlari manfiy bo'lgan cheksiz katta ketma-ketliklarni kiritamiz.
Ta'rif. Agar istalgan haqiqiy A soni uchun shunday nomer topilsaki, ketma-ketlikning elementlari larda
(42)
tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikka ka intiluvchi deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi:
Bunday ketma-ketlikka eng sodda misol sifatida ketmaketlikni olish mumkin.
Ta'rif. Agar istalgan haqiqiy soni uchun shunday nomer topilsaki, ketma-ketlikning elementlari larda
tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikka ka intiluvchi deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi:
Bunday ketma-ketlikka eng sodda misol sifatida ketmaketlikni olish mumkin.
Yuqoridagi ta'riflar qismiy limit tushunchasini kengaytirib, ular safiga va simvollarni qo'shishga imkon beradi.
Ta'rif. Agar ketma-ketlikdan ka intiluvchi, ya'ni
bo'lgan qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo'lsa, bu ketmaketlik uchun yuqori limit deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi:
Masalan, ketma-ketlik uchun yuqori limit bo'ladi.
Ravshanki, ketma-ketlikning yuqori limiti faqat va faqat u yuqoridan
chegaralanmaganda ga teng bo'ladi.
Ta'rif. Agar ketma-ketlikdan ka intiluvchi, ya'ni
bo'lgan qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo 'lsa, bu ketmaketlik uchun
quyi limit deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi
Masalan, ketma-ketlik uchun quyi limit bo'ladi.
Ravshanki, ketma-ketlikning quyi limiti faqat va faqat u quyidan
chegaralanmaganda ga teng bo'ladi.
Yuqorida keltirilgan ta'riflarga asoslanib, biz har qanday sonli ketma-ketlik uchun yuqori va quyi limitlar mavjud deyishimiz mumkin. Bu limitlar orasidagi munosabatni formal ravishda quyidagicha ifodalasa bo'ladi:
Eslatma. Aniqki, agar ketma-ketlik chegaralangan bo'lib uzoqlashsa, yuqoridagi munosabatda barcha qat'iy bo'lmagan tengsizliklar belgisi qat'iy tengsizliklar belgisiga o'zgaradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
