3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

Ichma-ich joylashgan kesmalar prinsipi
Sonlar o'qida ixtiyoriy ikki va kesmalarni qaraylik.
Agar

bo'lsa, kesmani kesma ichida joylashgan deymiz.
Ravshanki, kesmaning kesma ichida joylashishi uchun kesmaning har bir nuqtasi kesmaga ham tegishli bo'lishi, ya'ni

bo'lishi zarur va yetarlidir.
Navbatdagi teorema cheksiz ko'p ichma-ich joylashgan kesmalar ketma-ketligi haqida bo'lib, u bir qator tadbiqlarga egadir.
2-teorema (ichma-ich joylashgan kesmalar prinsipi). Agar kesmalarning har biri o'zidan avvalgisini ichiga joylashgan bo 'lib, ya'ni
(16)
bo'lib, ularning uzunligi nolga intilsa, bu kesmalar ketma-ketligining barchasiga tegishli bo'lgan c nuqta mavjud va yagonadir.
Isbot. Ravshanki, (1) munosabat

tengsizliklarning bajarilishini anglatadi.
Demak, ketma-ketlik o'suvchi va ketma-ketlik esa kamayuvchi ekan. Bundan tashqari, kesmaning ta'rifiga ko'ra istalgan uchun
(17)
tengsizliklar bajariladi.
Modomiki ketma-ketlik kamayuvchi ekan, tengsizlik bajariladi va (17) ga ko'ra

bo'ladi.
Bundan chiqdi, ketma-ketlik chegaralangan bo'lib, 1 - teoremaga ko'ra u yaqinlashuvchi bo'ladi. Xuddi shunga o'xshab, ketma-ketlikning quyidan chegaralangan va yaqinlashuvchi ekanini ko'rsatish mumkin.
Shartga ko'ra kesmalarning uzunligi nolga intiladi, ya'ni

Shunday ekan, va ketma-ketliklar yagona limitga intiladi. Biz bu limitni harfi bilan belgilaymiz, ya'ni

Endi (1) - teoremadan so'ng keltirilgan eslatmaga ko'ra

tengsizlik bajarilishini qayd etamiz. Bu tengsizlik esa, o'z navbatida, nuqtaning har bir kesmaga tegishli ekanini anglatadi. Bundan tashqari, nuqtaning yagona ekani ikki turli nuqta bir vaqtning o'zida uzunligi istalgancha kichik bo'lgan kesmalarga tegishli bo'la olmasligidan kelib chiqadi.
Eslatma. Bu teoremada kesmalar o'rniga intervallarni olish mumkin emas. Chunonchi, quyidagi ichma-ich joylashgan intervallar ketma-ketligini qaraylik. Bu intervallarning har biri avvalgisi ichiga joylashgan bo'lib, ularning uzunligi nolga intiladi. Lekin bu intervallarning barchasiga tegishli bo'lgan nuqta mavjud emas. Boshqacha aytganda, bu intervallar barchasining kesishmasi bo'sh to'plamdir.