3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

2. Shu munosabat bilan yuqoridan yoki quyidan chegaralangan ketma-ketlik tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif. Agar shunday soni mavjud bo 'lsaki, barcha n nomerlar uchun
(5)
shart bajarilsa, ketma-ketlikka yuqoridan chegaralangan deyiladi.
Xuddi shu singari quyidan chegaralangan ketma-ketlik aniqlanadi.
Ta'rif. Agar shunday A soni mavjud bo'lsaki, barcha nomerlar uchun
(6)
shart bajarilsa, ketma-ketlikka quyidan chegaralangan deyiladi.
Har qanday monoton ketma-ketlik hech bo'lmaganda bir tomondan chegaralangan bo'ladi. Haqiqatan ham, agar ketma-ketlik o'suvchi bo'lsa, ixtiyoriy nomer uchun

tengsizlik o'rinli bo'ladi, ya'ni ketma-ketlik quyidan soni orqali chegaralangan. Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo'lsa, ixtiyoriy nomer uchun

tengsizlik bajariladi, ya'ni ketma-ketlik yuqoridan soni orqali chegaralangan.
Shunday qilib, monoton ketma-ketlikning chegaralanganligini talab qilmoqchi bo'lsak, u o'suvchi bo'lganda yuqoridan chegaralanganlikni (chunki quyidan u shundoq ham chegaralangan), kamayuvchi bo'lganda esa quyidan chegaralanganlikni talab qilish yetarli.
Navbatdagi teoremani biz an'anaviy ko'rinishda keltiramiz.
1 - teorema. Yuqoridan chegaralangan har qanday o'suvchi ketma-ketlik yaqinlashadi.
Isbot. Shartga ko'ra ketma-ketlik o'suvchi va yuqoridan chegaralangan bo'lsin, ya'ni (1) va (5) shartlar bajarilsin.
simvoli orqali ketma-ketlikning qiymatlar to`plamini, ya'ni sonlar o'qining barcha nuqtalardan iborat qismiy to'plamini belgilaymiz. (5) ga ko'ra, to'plam yuqoridan chegaralangan va shuning uchun, 1.4.1 - asosiy teorema(1.4.1 - teorema (to'lalik haqidagi asosiy teorema). Haqiqiy sonlarning har qanday bo'sh bo'lmagan yuqoridan chegaralangan to'plami aniq yuqori chegaraga egadir)ga binoan bu to'plamning aniq yuqori chegarasi mavjud.
Mana shu aniq yuqori chegarani

deb belgilab, ekanini isbotlaymiz.
Aniq yuqori chegaraning ta'rifiga ko'ra
(7)
Yana o'sha aniq yuqori chegaraning ta'rifiga asosan (33-bet) istalgan uchun to'plamning nuqtadan o'ngda joylashgan kamida bitta nuqtasi mavjud. Agar shunday nuqta bo'lsa,

tengsizlik bajariladi.
o'suvchi ketma-ketlik bo'lgani uchun bu tengsizlikni ketma-ketlikning nomeri dan katta bo'lgan barcha elementlari ham qanoatlantiradi, ya'ni
(8)
Shunday ekan, bo'lganda har ikkala (7) va (8) tengsizliklar bir vaqtda bajariladi, ya'ni:

Bundan chiqdi,

tengsizlik ham o'rinli bo'lar ekan. Bu tengsizlik esa ketmaketlikning a soniga yaqinlashishini anglatadi.
Natija. Quyidan chegaralangan har qanday kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashadi.
Haqiqatan, quyidan chegaralangan har qanday kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashishini ko'rsatish uchun, ketma-ketlik o'suvchi va yuqoridan chegaralangan ekanligini qayd etib, unga 1 - teoremani qo'llash yetarli.
Eslatma. Agar ketma-ketlik o'suvchi bo'lib, biror a songa yaqinlashsa, u holda, ravshanki, quyidagi

tengsizliklar bajariladi.
Xuddi shunga o'xshash, ketma-ketlik kamayuvchi bo'lib, biror songa yaqinlashsa,

tengsizliklar o'rinli bo'ladi.