28-§. Дәслепки функция ҳәм анық емес интеграл түсиниклери 10. Дәслепки функция түсиниги

2-Теорема. Егер болса, онда функция да дәслепки функцияға ийе болады.
Бул теореманың дәллили 34-лекцияда келтириледи.
2⁰. Функцияның анық емес интегралы. Интегралдың қәсийетлери. Мейли да функция берилген болып, функция оның базыбир дәслепки функциясы болсын:
.
Онда берилген функцияның қәлеген дәслепки функциясы

көринисинде аңлатылады.
3-анықлама. Бул

белги функцияның анық емес интегралы делинеди ҳәм

көриниснде белгиленеди. Бунда - интеграл белгиси, интеграл астындағы функция, интеграл белгиси астындағы аңлатпа делинеди.
Демек,

Солай етип, интервалда функцияның анық емес интегралы да туўындысы усы ка тең болған функцияның улыўма көринисин аңлатады.
2-мысал.

интегралды табың.
◄ Анық емес интеграл анықламасына муўапық, сондай функция табылыў керек, болсын. Егер

делинсе, буннан, болады. Демек,
. ►
3-мысал.

анық емес интегралды табың.
◄ Буннан,

функция ушын

болады. Демек,
. ►
Енди анық емес интегралдың қәсийетлерин келтиремиз. Буннан былай анық емес интеграл ҳаққында гәп барғанда оны қаралып атырған аралықта бар деп, яғный интеграл белгиси астындағы функция қаралып атырған аралықта дәслепки функцияға ийе деп қараймыз ҳәм аралықты көрсетип отырмаймыз.
1) Бул

қатнас орынлы.
◄ Мейли функция тиң дәслепки функциясы болсын:
.
Бул жағдайда,

болады. Бул теңликке дифференциал әмелин қолланып табамыз.
►
Бул туўынды бириншиден дифференциал белгиси , соң интеграл белгиси келип, олар избе-из турғанда өз-ара бир-биреўин жоғалтыўды аңлатады.
2) Бул

қатнас орынлы болады.
◄ Мейли функция ның дәслепки функциясы болсын:
.
Бул жағдайда

болады.

болып, бул теңликлерден

болыўы келип шығады. ►
Бул туўынды биринши интеграл белгиси , соң дифференциал белгиси келип, олар избе-из турғанда өз-ара бир-биреўин жоғалтыўды аңлатады ҳәм ға турақлы ты қосып қойыў кереклигин көрсетеди.
3) Бул
(2)
теңлик орынлы болады.
◄ Мейли ҳәм функциялар сәйкес тәризде ҳәм лердиң дәслепки функциялары болсын
, .
Бул жағдайда
,
болып,
(3)
болады.

болғанлығы себепли
(4)
болады. (3) ҳәм (4) қатнаслардан, олардағы , ҳәм лердиң қәлеген турақалы екенлигин итибарға алып табамыз:
.►
Бул туўынды анық емес интегралдың аддитивлик туўындысы делинеди.
4)
(5)
теңлик орынлы болады, бунда k турақлы сан ҳәм k0.
Бул туўынды жоқарыдағы 3)-туўынды көринисинде дәллиленеди.