23 Маъруза Айирмали схемаларнинг тургунлик назарияси

23 - Маъруза


Айирмали схемаларнинг тургунлик назарияси.
Икки ва уч катламли айирмали схемаларнинг каноник куриниши ва тургунлик шартлари.
Режа :
1. Айирмали схемалар оператор тенгламалар сифатида.
1.1 Айирмали тенгламаларни оператор тенгламалар куринишда тасвирлаш.
1.2 Оператор тенгламаларнинг корректлиги
2. Икки катламли айирмали схемаларнинг каноник куриниши ва тургунлиги.
2.1. Икки катламли айирмали схемаларнинг каноник куриниши .
2.2. Айирмали схеманинг тургунлиги.
2.3. Бошлангич берилганларги нисбатан тургунлик.
Бу маърузада икки ва уч катламли умумий кўринишли чизикли айирмали схемаларнинг тургунлиги ўрганилади. Айирмали схемалар у ёки бу бошлангич тенгламага богланмаган холда, оператори Евклид фазосида ишловчи оператор тенгламалар сифатида каралади.
Тургунлик шартлари оператор тенгсизликлар кўринишда тавсифланадилар. Назарияни маълум айирмали схемалар тургунлигини текширишга кўллаш, бу схемаларни каноник кўринишда ёзиб, оператор тенгсизликларнинг бажарилишини текширишдан иборат.
1. Айирмали схемалар оператор тенгламалар сифатида.
1). Айирмали схемаларни оператор тенгламалар кўринишда тасвирлаш.
Айирмали схемалар математик физиканинг у ёки бу масаласини аппроксимация килиш натижасида пайдо бўлади ва уни ечиш учун мўлжалланадилар. Шунинг учун айирмали схемалар назариясида дифференциал тенгламаларни айирмали тенглама билан аппроксимация килиш ва айирмали схема ечимининг бошлангич дифференциал тенглама ечимига якинлашиш масалалари мухим ўринни эгаллайди. Аммо, айирмали схема курилгандан сўнг у мустакил математик объектга айланади ва у уни вужудга келтирган дифференциал масалага богланмаган холда ўрганилиши мумкин.
Бунда аппроксимация ва якинлашишдек масалалар тушиб коладилар, лекин корректлик масаласи колади.
Айирмали схема чизикли алгебраик тенгламалар системасидан иборат. Уни хамма вакт
(1)
вектор тенглама кўринишда ёзиш мумкин.
Бу ерда А системанинг матрицаси, y топилиши керак бўлган вектор, берилган вектор бўлиб, у айирмали тенглама ўнг томони ва кўшимча шартлар (бошлангич ва чегаравий шартлар) оркали аникланади. Бундай ёзув шакли стационар айирмали масалалар учун кулай бўлиб, икки ва уч катламли айирмали масалалар учун ёзувнинг бошка кўриниши кулайдир.
(1) тенгламани оператор тенглама сифатида караш мумкин. Бу ерда чекли ўлчовли Н фазода А чизикли оператор, y кидирилаётган Н фазо элементи ва Н берилган элемент.
Айирмали схемаларда шу нарса характерлики, хар бир схема (1) -кўринишдаги бирта тенгламани эмас, балки h га боглик бўлган тенгламалар оиласини аниклайди:
(2)
h нинг хар бир кийматида A_h оператори H_h - чекли ўлчовли фазода ишлайди. H_h фазонинг ўлчови h га боглик бўлиб, h 0 да ўсиб боради.
(2) - оператор тенглама кўринишида ёзиладиган бир канча айирмали схемалар мисолларини келтирамиз. Маълум схемани (2)- кўринишда ёзиш учун, H_h фазони мувофиклаштириб киритиш лозим, A_h операторни аниклаш ва _h ўнг томонни бериш керак.
1-мисол. (22) - маърузадаги иккинчи тартибли айирмали хосила операторини келтирамиз.

тўрда
(3)
айирмали схемани караймиз.
(3)- системани
₍₄₎
кўринишда ёзамиз. Бу ерда ўлчовли функциялардан иборат фазони киритамиз. H_N-1 да А оператор ва у векторни куйидагича аниклаймиз:
(5)
(6)
Унда (4)- айирмали схемани (1) оператор кўринишда ёзиш мумкин.
2-мисол.
сохада

тўрни аниклаймиз.
Фараз киламиз, тўрнинг G соха чегарасидаги тугун нукталари тўплами бўлсин, тўрнинг ички нукталари бўлсин.
Пуассон тенгламасини аппроксимацияловчи айирмали схемани караймиз:
, агар x_{ij h}
y_ij =0 , агар x_{ij h} (8)
Фараз киламиз, H( ) ва H( ) мос равишда ва тўрларда аникланган функцияларнинг чизикли фазоси бўлсин. H⁰( ) - _h -да нолга тенг бўлган тўрда аникланган функиялар тўплами берилган бўлсин.
фазо ўлчови тўрининг тугун нукталари сони
(N₁-1)x(N₂-1) га тенг, (8) - масалага Н⁰( )дан Н( ) фазога акслантирувчи А оператор мос келади. Бу оператор
(9)
формулалар оркали аникланади. (8)- айирмали схемани (1) - кўринишда А (9) - каби аникланган ва _ij формулалар оркали аникланади.
(9)- тенглама хоссалари 21-маърузада батафсил ўрганилган.