23 Маъруза Айирмали схемаларнинг тургунлик назарияси

2). Айирмали схемаларнинг тургунлиги.
Стационар масалалар холидагидек (3)- айирмали схема коррект деб айтилади, агар y_n=y_{h ,}(t_n) ечим: а) мавжуд, б) ягона, в) _n ва y₀ бошлангич берилганларга ва h га нисбатан текис узлуксиз боглик булса.
Келгусида хамма вакт B^-1 оператор мавжуд деб хисоблаймиз (агар B=B_h, (t_n) булса B^-1, ,h, t_n ларнинг хар бир мумкин булган кийматларида мавжуд).
Тургунликнинг катъий таърифини берамиз. H_h фазода y(t_n) H_h ечимни улчаш учун ||.||_1h ва (t_n) ни улчаш учун ||.||_2h нормалар берилган деб хисоблаймиз.
1-таъриф Агар h, ,n ларга боглик булмаган M₁>0 , M₂>0 константалар мавжуд булиб, ихтиёрий _h , H_h унг томонлар ва ихтиёрий y₀ H_h бошлангич берилганлар учун (3)- тенглама ечими учун
(10)
бахолар уринли булса, (3)- айирмали схема тургун деб айтилади. (10)- тенгсизлик оркали ифодаланган тургунлик унг томон ва бошлангич берилганларга нисбатан тургунлик деб айтилади. Худди шундай, унг томонга нисбатан тургунлик ва бошлангич берилганларга нисбатан тургунлик тушунчалари хам ишлатилади.
Бир жинсли
(11)
y₀ H_h берилган тенгламани караймиз.
2-таъриф. (3)- айирмали схема бошлангич берилганларга нисбатан тургун деб айтилади, агар n, - ларга боглик булмаган шундай M₁ мавжуд булиб хар кандай y₀ H_h бошлангич берилганлар учун (11)- тенглама ечими учун
(12)
уринли булса.
Энди бир жинсли булмаган, лекин бошлангич шартлари нолга тенг булган (3)- тенгламани караймиз:
(13)
3-таъриф. (3) - айирмали схема унг томонга нисбатан тургун деб айтилади, агар h, n, ларга боглик булмаган шундай M₂>0 доимий сон мавжуд булсаки, хар кандай учун (13) тенглама ечими учун
(14)
бахо уринли булса.
Айирмали схема чизикли булганлиги учун, унг томонга ва бошлангич берилганларга нисбатан бир вактда тургун булишидан унинг 1- таъриф маъносидаги тургунлиги келиб чикади.
4-таъриф. (3) - айирмали схема бошланuгич берилганларга нисбатан текис тургун деб айтилади, агар шундай h, n, ларга боглик булмаган >0 ва M₁>0 доимий сонлар мавжуд булиб ихтиёрий n = 0, 1,...,K-1 , K>1, ва барча y_n H_h лар учун (11) - биржинсли тенглама ечими y_n+1 учун ,
(15)
бахо уринли булса.
Айирмали схемалар назариясида константа сифатида =1, =1+c₀ ёки = e^c0 , h, , n - га богликмас кийматлардан бири олинади. Масалан, агар, =e^c0 булса, унда ⁿ=e^{c0 n} =e^c0tn e^c0T , яъни М=e^c0Т T =К
(11) - биржинсли тенгламани
(16)
куринишда ёзамиз.
Бунда
S=E- B^-1A, (17)
(3) - схеманинг утиш оператори деб айтилади. y₀ H_h ихтиёрий булганлиги учун бошлангич берилганлар буйича (15) тургунлик шарти S оператор нормасининг доимий сон билан чегараланганлигига эквивалентдир:
₍₁₈₎
S оператор n-га боглик булиши мумкин. Келгусида n-нинг мумкин булган кийматлари деб, шундай n=1,2,...,K-1 сонларга айтамизки K =T булсин. Бунда T>0 берилган сон 0 , K интилади.
1-теорема. Фараз киламиз (3)-схема ||.||_1h нормада бошлангич берилганлар буйича текис тургун булсин. Ундан (3)- схема унг томон буйича хам тургун булиб, унинг ечими учун (10) бахо уринлидир. Бунда ва M₂=M₁T.
Исбот. (3) - тенгламани n=j учун

куринишда ёзиб оламиз ва учбурчак тенгсизлигини куллаймиз:

Бу тенгсизликни бир неча марта куллаб
(19)
тенгсизликни хосил киламиз.
Бошлагич берилганларга нисбатан текис тургунлик шартига кура , барча мумкин булган n учун , хусусий холда этамиз. Шунинг учун (19)- баходан

бахога эга буламиз. Исботни тугал булиши учун,

тенгсизлик уринли эканлигини курамиз. 1 - теоремани инобатга олсак, айирмали схемаларни бошлангич берилганлар буйича тургунлигини тадкик этиш билан чегараланиш кифоядир. Биз (15) - бахо, =1 булган холни караймиз.