21-ma'ruza. Aniq integralga keltiriluvchi masalalar. Aniq integralning ta'rifi va uning asosiy xossalari. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralda o'zgaruvchini almashtirish. Bo'laklab integrallash

21-ma'ruza. Aniq integralga keltiriluvchi masalalar. Aniq integralning ta'rifi va uning asosiy xossalari. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralda o'zgaruvchini almashtirish. Bo'laklab integrallash.

Aniq integral-matematik analizning eng muhim tushunchalaridan biridir. Egri chiziq bilan chegaralangan yuzalarni, egri chiziqli yoylar uzunliklarini, hajmlarni, bajarilganlik ishlarni yollarni, inersiya momentlarini va hokazolarni hisoblash masalasi shu tushuncha bilan bog’liq. [a, b] kesmada uzluksiz funksiya berilgan bo’lsin.

Quyidagi amallarni bajaramiz.

1. [a, b] kesmani quyidagi nuqtalar bilan ixtiyoriy n ta qismga bo’lamiz, va ularni qismiy intervallar deb ataymiz.

2. Qismiy intervallarning uzunliklarini bunday belgilaymiz:

3. Har bir qismiy interval ichida bittadan ixtiyoriy nuqta tanlab olamiz.

4. Tanlangan nuqtalarda berilgan funksiyalarning qiymatini hisoblaymiz.

5. Funksiyaning hisoblangan qiymatlarining qismiy intervallarning uzunligiga ko’paytmasini tuzamiz.

6. Tuzilgan ko’paytmalarni qo’shamiz va shu yig’indini b_n bilan belgilaymiz.

yig’indi f(x) funksiya uchun [a, b] kesmada tuzilgan integral yig’indi deb ataladi. integral yig’indi qisqacha bunday yoziladi.

Integral yig’indining geometric ma’nosi ravshan: Agar bo’lsa u holda asoslari va balandliklari mos ravishda bo’lgan to’g’ri to’rtburchak yuzalarining yig’indisadan iborat (1-rasm).

Endi bo’lishlar soni n ni irttira boramiz. va bunda eng katta intervalning uzunligi nolga intilishini, ya’ni max deb faraz qilamiz.

Ushbu ta’rifni beramiz.

Ta’rif. Agar integral yig’indi [a,b] kesmani qismiy kesmalarga ajratish usuliga va ularning har biridan nuqtani tanlash usuliga bog’liq bo’lmaydigan chekli songa intilsa, u holda shu son [a, b] kesmada funksiyadan olingan aniq integral deyiladi va bunday belgilanadi:

Bu yerda integral ostidagi funksiya. [a, b] kesma integrallash oralig’I, a va b sonlar integrallashning qo’yi va yuqori chegarasi deyiladi.

Aniq integralning ta’rifidan ko’rinadiki, aniq integral hamma vaqt mavjud bo’lavermas ekan. Biz quyida aniq integralning mavjudlik teoremasini isbotsiz keltiramiz.

Teorema. Agar funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsa, I integrallanuvchidir, ya’ni bunday funksiyaning aniq integrali mavjuddir.

Agar yuqoridan funksiyaning grafigi, quyidan OX o’qi yon tomonlaridan esa x=a, x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohani egri chiziqli trapetsiya deb atasak, u holda aniq integralning geometric ma’nosi ravshan bo’lib qoladi: bo’lganda u shu egri chiziqli trapetsiyaning yuziga son jihatdan teng bo’ladi.

1-izoh. Aniq integralning qiymati funksiyaning ko’rinishiga va integrallash chegarasiga bog’liq. Masalan:

2-izoh. Aniq integralning chegaralari almashtirilsa, integralning ishorasi o’zgaradi.

3-izoh. Agar aniq integralning chegaralari teng bo’lsa, har qanday funksiya uchun ushbu o’rinli bo’ladi.

1. Aniq integralning asosiy xossalari.

1-xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

(1)

Isboti.

2-xossa. Bir necha funksiyaning algebraic yig’indisining aniq integral qo’shiluvchilar integralining yi’g’indisiga teng (ikki qo’shiluvchi bo’lgan hol bilan chegaralanamiz):

(2)

Isboti. 1-xossaga o’xshash isbotlanadi.

3-xossa. Agar [a, b] kesmada ikki funksiya shartni qanoatlantirsa, ushbu tengsizlik o’rinli.

(3)

Isboti. Shartga ko’ra bo’lgani uchun bo’ladi. Demak, ni yozish mumkin bundan ekani kelib chiqadi va nihoyat

bo’ladi.

4-xossa. Agar [a, b] kesma bir necha qismga bo’linsa, u holda [a, b] kesma bo’yicha aniq integral har bir qism bo’yicha olingan aniq integrallar yig’indisiga teng. [a, b] kesma ikki qismga bo’lingan hol bilan cheklanamiz, ya’ni a bo’lsa, u holda

(4)

Isboti. 1-xossaga o’xshash isbotlanadi.

5-xossa. Agar m va M sonlar funksiyaning [a, b] kesmada eng kichik va eng katta qiymati bo’lsa, ushbu tengsizlik o’rinli.

(5)

Isboti Shartga ko’ra ekani kelib chiqadi. 3-xossaga asosan quyidagiga ega bo’lamiz:

(5*)

Biroq

Bo’lgani uchun (5*) tengsizlik

Bo’ladi.

6-xossa (o’rta qiymat haqidagi teorema).

Agar funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsa, bu kesmaning ichida shunday x=s nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiyaning qiymati uning shu kesmadagi o’rtacha qiymatiga teng bo’ladi, ya’ni .

Isboti. Faraz qilaylik, m va M sonlar uzluksiz funksiyaning [a, b] kesmadagi eng kichik va eng katta qiymati bo’lsin. Aniq integralni baholash haqidagi xossaga ko’ra quyidagi qo’sh tengsizlik to’g’ri:

Tengsizlikning hamma qismlarini b-a>0 ga bo’lamiz. Natijada

Ni hosil qilamiz. Ushbu belgilashni kiritib, qo’sh tengsizlikni qayta yozamiz.

funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo’lgani uchun u m va M orasidagi hamma oraliq qiymatlarini qabul qiladi.

Demak, biror x=s qiymatda bo’ladi, ya’ni

Teorema isbotlandi.

7-xossa. (Aniq integralning yuqori chegarasi bo’yicha hosila).

Agar aniq integralda integrallashning quyi chegarasi a u holda integralning qiymati ham o’zgaruvchi bo’ladi, ya’ni integral yuqori chegaraning funksiyasi bo’ladi.

2-rasm

Bu funksiyani F(x) bilan belgilaymiz.

(1)

Agar bo’lsa, u holda F(x) funksiyaning son qiymati egri chiziqli aAXx trapetsiyaning yuziga teng (2-rasm). Bu yuza x o’zgarishi bilan o’zgarib boradi.

F(x) funksiyadan x ga nisbatan hosila olamiz, ya’ni (1) aniq integraldan yuqori chegarasiga nisbatan hosila olamiz.

Teorema 1. Agar funksiya x=t nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda F(x) funksiyasi integral osti funksiyasining yuqori chegarasidagi qiymatiga teng, ya’ni

Yoki

Isbot. X argumentga orttirma berib qo’yidagini hosil qilamiz:

F(x) funksiyaning orttirmasi qo’yidagiga teng bo’ladi:

Oxirgi integralga o’rta qiymat haqidagi teoremani tatbiq qilamiz:

Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatini topamiz:

Demak,

Lekin da bo’lgani uchun chunki,

Funksiya x=t nuqtada uzluksizdir. Shunday qilib,

Teorema isbotlandi. Teoremadan F(x) funksiya f(x) funksiyaninf boshlang’ich funksiyasi ekani kelib chiqadi, chunki

Aniq integrallarni integral yig’indining limiti sifatida bevosita hisoblash ko’p hollarda juda qiyin, uzoq hisoblashlarni talab qiladi va amalda juda kam qo’llaniladi. Integrallarni topish formulasi Nyuton-Leybnits teoremasi bilan beriladi.

Teorema. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi boshlang’ich funksiyasi bo’lsa u holda aniq integral boshlang’ich funksiyaning integrallash oralig’idagi orttirmasiga teng ya’ni

(1)

(1) tenglik Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.

Isbot. F(x) funksiya f(x) funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsin, u holda 1-teoremaga ko’ra funksiya ham f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi. Berilgan funksiyaning ikkita istalgan boshlang’ich funksiyalari bir-biridan o’zgarmas S qo’shiluvchiga farq qiladi, ya’ni F(x)=F(x)+S

Shuning uchun: C-o’zgarmas miqdorni aniqlash uchun bu tenglikda x=a deb olamiz:

Bo’lgani uchun F(a)+C=0. Bundan S=-F(a). Demak

Endi x=b deb Nyuton-Leybnits formulasini hosil qilamiz:

Yoki integrallash o’zgaruvchisini x bilan almashtirsak:

belgilash kiritib, oxirgi formulani qo’yidagicha qayta yozish mumkin:

Teorema isbotlandi.

Integral ostidagi funksiyaning boshlang’ich funksiyasi ma’lum bo’lsa, u holda Nyuton-Leybnits formulasi aniq integrallarni hisoblash ushun amalda qulay usulni beradi. Faqat shu formulaning kashf etilishi aniq integralni hozirgi zamonda matematik analizda tutgan o’rnini olishga imkon bergan. Nyuton-Leybnits formulasi aniq integralning tatbiqi sohasini ancha kengaytirdi, chunki matematika formula yordamida xususiy ko’rinishdagi turli masalalarni yechish uchun umumiy usulga ega bo’ldi.

Misollar.

1)

2)

3)