11-ma`ruza. Aniq integralning tatbiqlari egri chiziqli trapetsiya yuzi

11-MA`RUZA. ANIQ INTEGRALNING TATBIQLARI

1.Egri chiziqli trapetsiya yuzi. funktsiya segmentda aniqlangan, uzluksiz va da bo`lsin. Yuqoridan funktsiya grafigi, yon tomonlardan vertikal chiziqlar va pastdan abstsissa o`qi bilan chegaralangan shaklni qaraymiz (1-chizma).

Odatda bunday shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi. egri chiziqli trapetsiyaning yuzini topish talab etilsin. Agar funktsiya segmentda o`zgarmas, ya`ni

bo`lsa, u holda shakl to`g`ri to`rtburchakdan iborat bo`lib, uning yuzi

formula bilan aniqlanadi.

1-chizma

Agar funktsiya segmentda bo`lib, u ning ixtiyoriy uzluksiz funktsiyasi bo`lsa, u holda shaklning yuzini topish uchun segmentni



nuqtalar yordamida bo`lakka bo`lamiz va har bir segmentda ixtiyoriy nuqtani olamiz. Har bir segmentda funktsiyani o`zgarmas deb va uni ga teng deb olsak, u holda egri chiziqli trapetsiyaning yuzi

ga teng bo`lib, shaklning yuzi

taqriban aniqlanadi. Agar segmentning bo`laklar sonini qancha orttirib borsak, har bir segment uzunligi nolga intiladi. U holda bu mikdorlar borgan sari egri chiziqli trapetsiyaning yuzini aniqroq ifodalab boradi. Yuqorida tuzilgan yig`indi funktsiyaning integral yig`indisi bo`lib, segment uzunligi nolga intilganda bu yig`indining limiti aniq integralga teng bo`ladi. Demak, shaklning yuzini hisoblash uchun quyidagi formulaga ega bo`lamiz:



Eslatma. Agar va funktsiyalar da aniqlangan va uzluksiz va larda bo`lsa, yuqoridan , pastdan funktsiyalarning grafiklari bilan yon tomonlardan vertikal chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzi

formula bilan hisoblanadi.

1-misol. Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzini toping:



Yechish. parabola bilan to`g`ri chiziqning kesishish nuqtasining abstsissalarini topamiz. tenglamani yechib, larni topamiz. U holda



2. Yoy uzunligi. funktsiya oraliqda aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega bo`lsin. Bu funktsiyaning oraliqdagi grafigi yoyni tasvirlasin. yoy uzunlikga ega va bu yoy uzunligi quyidagi

formula yordamida hisoblanadi.

3. O`zgaruvchi kuch ishi.

Biror jismni o`qi bo`ylab, shu o`q yo`nalishida bo`lgan kuch ta`sirida nuqtadan nuqtaga o`tkazish uchun bajargan ishni topish talab etilsin.

Ravshanki, jismga ta`sir etuvchi kuch o`zgarmas, ya`ni

bo`lsa, u holda jismni nuqtadan nuqtaga o`tkazish uchun bajarilgan ish

ga teng bo`ladi.

Faraz qilaylik, jismga ta`sir etuvchi kuch ga bog`liq bo`lib, u da uzluksiz bo`lsin:



segmentning ixtiyoriy

bo`laklashini olib, bu bo`laklashning har bir

bo`lagida ixtiyoriy nuqta olamiz.

Agar har bir da jismga ta`sir etuvchi kuch o`zgarmas va u ga teng deb olinsa, u holda oraliqda bajarilgan ish (kuch ta`sirida jismni nuqtadan nuqtaga o`tkazish uchun bajarilgan ish) taqriban

formula bilan, oraliqda bajarilgan ish bo`lsa, taqriban

(1)

formula bilan aniqlanadi.

bo`laklashning diametri nolga intilib borganda yuqoridagi yig`indining qiymati izlanayotgan ishni aniqroq ifodalaydi. Bu hol da (1) yig`indining chekli limitini bajarilgan ish deb hisoblash mumkin ekanligini ko`rsatadi.

Demak,

funktsiya da uzluksiz bo`lgani uchun

bo`ladi.

Shunday qilib, o`zgaruvchi kuchning dagi bajargan ishi

(2)

formula bilan aniqlanadi.

Topshiriqlar

1. 
   Yoy uzunligini topish formulasi .
   

2. va chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini toping