Aniq integralning tatbiqlari
REJA
To’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash
Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi
Egri chiziq yoyining uzunligi
Aniq integrallarni taqribiy hisoblash
Agar [ a , b] kesmada f ( x) 0 bo’lsa, u holda, y f ( x) egri chiziq, Ox o’q hamda x a , x b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
-
Q b
|
f ( x ) dx
|
(1)
|
|
a
|
|
|
Agar f ( x) 0 [ a , b] da bo’lsa, u holda b
|
f ( x ) dx aniq integral
|
ham 0 bo’ladi.
|
a
|
|
|
|
Absolyut qiymati jihatidan u mos egri chiziqli trapetsiyaning Q yuziga teng:
Q b f ( x ) dx
a
Agar f ( x) funksiya [ a , b] kesmada chekli marta ishorasini o’zgartirsa, u holda butun [ a , b] kesma bo’yicha olingan intervali qism-qism kesmalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. Integral f ( x) 0 bo’lgan joylarda musbat va f ( x) 0 bo’lganda manfiy bo’ladi. Bunday holda
b | f ( x ) | dx
a
Misol 1. y sin x sinusoid ava Ox o’q bilan 0 x 2 bo’lganda chegaralangan Q yuzani toping.
Yechish. 0 x da sin x 0 va x 2 da sin x 0 bo’lganligi uchun
-
Q sin xdx
|
|
2 sin xdx
|
|
|
2 | sin x | dx
|
|
|
0
|
|
|
|
|
0
|
sin xdx cos x |0 (cos cos0) ( 1 1) 2
0
2
sin xdx cos x |2 (cos2 cos) 2
Agar y f1 ( x) , y f 2 ( x) egri chiziqlar va x a , x b ordinatalar bilan chegaralangan yuza f1 ( x ) f 2 ( x) shart bajarilganda
-
Q b
|
f1 (x ) dx b
|
f 2 (x ) dx b[ f1 (x ) f 2 (x )]dx (2)
|
a
|
a
|
a
|
bo’ladi.
Misol 2. y x va y x2 egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani toping.
Yechish. Egri chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz: x x2 ; x x4 , bu yerdan x1 0 va x2 1.
Demak,
-
Q1
|
|
1
|
x 2 dx 1
|
|
|
x 2 )dx
|
2
|
x
|
3
|
|
|
1
|
|
x3
|
|
|
|
xdx
|
(
|
x
|
2
|
3
|
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
0
-
Endi tenglamasi
|
|
x (t ) , y (t )
|
(3)
|
parametrik ko’rinishda bo’lgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini topamiz, bu yerda
t va () a , ( ) b .
(3) tenglamalar [ a , b] kesmada biror y f ( x) funksiyani aniqlash va demak egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
Q b f (x ) dx b y dx
a a
formula bilan hisoblanishi mumkin.
Bu integralda o’zgaruvchini almashtiramiz: x (t ) , dx '(t ) dt . (3) tenglamalar asosida topamiz:
y f ( x ) f [ (t )] (t )
Demak,
-
Q b (t ) '(t ) dt
|
(4)
|
a
|
|
Bu parametric ko’rinishda berilgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani yuzasini topish formulasidir.
Misol. Ellips bilan chegaralangan soha yuzini toping.
a cos t , y b sin t
Yechish. Ellipsning yuqori yarmi yuzasini topamiz va a dan a gacha o’zgaradi, demak, t dan 0 gacha o’zgaradi:
2 0 (b sin t )( a sin tdt ) 2 ab 0 sin 2 t dt 2 ab sin2 t dt
-
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
1 cos 2t
|
|
t
|
|
sin 2t
|
2 ab
|
|
|
dt 2ab
|
|
|
|
|
ab
|
|
|
|
|
0
|
2
|
|
2
|
|
4
|
0
|
2. Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq
tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda f ( ) - da uzluksiz funksiya.
f () egri chiziq hamda , radius-vektolar bilan chegaralangan OAB sektorning yuzini topamiz.
Berilgan yuzani 0 , 1 , ..., n radius-vektorlar yordamida n qismlarga ajratamiz. O’tkazilgan radius-vektorlar orasida burchaklari 1 , 2 ,..., n bilan belgilaymiz.
i1 va i orasida joylashgan qandaydir i burchakka mos kelgan radius-vektorning uzunligini i bilan belgilaymiz.
Radiusi
|
|
|
va markaziy burchagi
|
|
bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzasi Q
|
|
|
1
|
|
|
2
|
|
|
i
|
|
|
|
ga teng. Ushbu
|
|
|
2
|
|
|
|
|
i
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i
|
|
|
i
|
i
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
n
|
|
1
|
n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qn
|
|
|
2 i
|
|
[ f ( i )]2 i
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i 1
|
|
2 i1
|
|
|
|
|
|
|
|
esa “zinasimon” sektorning yuzini beradi.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bu yig’indi kesmada
|
2 [ f ( i )]2 funksiya uchun integral yig’indi bo’lganligi uchun uning max i 0 bo’lgandagi
|
limiti
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 d
aniq integral bo’ladi. U biz i burchakning ichida qaysi i radius-vektorni olishimizga bo’gliq emas.
Shunday qilib, OAB sektorning yuzi
-
Do'stlaringiz bilan baham: |