2-Mavzu: Matematik analizning tatbiqiy masalalari Reja: Aniq integralning tadbiqlari

2. Trapetsiyalar formulasi.

[a, b] kesmani bo’lishni avvalgidek qoldirib, Dx xususiy intervalga mos keluvchi y=f(x) chiziqning har bir yoyini bu yoyning chetki nuqtalarini tutashtiruvchi vatar bilan almashtiramiz. Bu berilgan egri chiziqli trapetsiyani n ta to’g’ri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig’indisi bilan almashtirilganini bildiradi.

2-rasm.
Bunday figuraning yuzi egri chiziqli trapetsiyaning yuzini to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan pog’onali figuraning yuziga qaraganda ancha aniq ifodalashi geometrik jihatdan ravshandir.

Bu trapetsiyalardan birinchisining yuzi , ikkinchisining yuzi , va hokazo bo’lgani sababli

va Dx=(b-a)/n ekanligini eslasak

(3)

Bu trapetsiyalar formulasidir.

n soni qancha katta bo’lsa va demak, Dx=(b-a)/n qadam qancha kichik bo’lsa, (3) taqribiy tenglikning o’ng tomonida yozilgan yig’indi shuncha katta aniqlik bilan integral qiymatini beradi. Trapetsiyalar formulasining absolyut xatosi dan katta emas, bunda M₂-|f ^||(x)| ning [a, b] kesmadagi eng katta qiymatidir.

Misol. Bizga ma’lumki

.

Chap tomonda turgan integralni n=10 da 0,0001 aniqlik bilan hisoblaymiz.

To’g’ri turtburchaklar formulasi bo’yicha yechish:

x₀=0,05 y₀=0,9975 x₅=0,55 y₅=0,7678

x₁=0,15 y₁=0,9780 x₆=0,65 y₆=0,7030

x₂=0,25 y₂=0,9412 x₇=0,75 y₇=0,6400

x₃=0,35 y₃=0,8909 x₈=0,85 y₈=0,5806

x₄=0,45 y₄=0,8316 x₉=0,95 y₉=0,5216

Trapetsiyalar formulasi bo’yicha echish:

x₀=0,0 y₀=1,0000 x₅=0,5 y₅=0,8000

x₁=0,1 y₁=0,9901 x₆=0,6 y₆=0,7353

x₂=0,2 y₂=0,9615 x₇=0,7 y₇=0,6711

x₃=0,3 y₃=0,9174 x₈=0,8 y₈=0,6098

x₄=0,4 y₄=0,8621 x₉=0,9 y₉=0,5525

x₁₀=1,0 y₁₀=0,5000

.

Misol. Massasi m v tezlikka ega bo’lgan kinetik energiya bilan ifodalanadi.

Ustki asosi a va ostki asosi b (a ³v) balandligi h bo’lgan teng yonli trapetsiya shaklidagi vertikal tug’onga ta’sir qilayotgan suvning bosim kuchini hisoblang.

Yechilishi. Shtrixlangan poloska x chuqurlikda joylashgan bo’lib y va dx ulchamlariga ega bo’lsin. Suvning shu poloskaga bo’lgan bosim dp=xydx kuchini
y-o’zgaruvchini x orqali va trapetsiyaning a, b va h o’lchamlarini x orqali ifodalaymiz. ADE va ANM uchburchaklarning o’xshashliklari.

ammo . , , .

Bu qiymatlarni proporsiyaga qo’yib, qo’yidagini hosil qilamiz.

bunda

u holda .

x ning 0 dan h gacha o’zgarishida dp ni integrallab, ushbuni hosil qilamiz.