2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

3.2.20.Теорема.А тўпламнинг R эквивалент муносабат бўйича олинган фактор тўплами A_R, А тўпламнинг бўлакларга бўлинишидан иборатдир.
Исботи. Эквивалент синфининг таърифига кўра А тўпланинг ихтиёрий а элементи а_R эквивалент синфга тегишлидир.Шу боис теореманинг ростлигини кўрсатиш учун, А тўпламнинг ихтиёрий элементини, А_R эквивалент синфлар тўпламидан битта ва фақат битта синфига тегишли эканлигини исботлаш етарлидир. Бунинг учун, камида битта умуий элементга эга бўлган иккита эквивалент синф устма-уст тушишини кўрсатиш кифоядир. а_R ва b_R эквивалент синфлар умумий с элементга эга бўлсин ва х элемент а_R эквивалент синфнинг ихтиёрий элементи бўлсин. У ҳолда хRa, aRc, cRb муносабатлардан ва R муносабатнинг транзитив эканлигидан xRb. Шундай қилиб, а_Rb_R. Худди шу усулда b_Rа_R эканлиги исботланади. Демак, а_R=b_R. Шундай қилиб, А_R фактор тўплам А тўпламнинг бўлакларидан иборат эканлиги кўрсатдик.
Мисоллар:
1. A={ xן x N, x12} тўпламда « x ва y натурал сонларини 5 сонига бўлганда бир хил қолдиқ қолади » R муносабати берилган бўлсин.
А) A тўпламнинг қайси сонларида xR7 ва 8Ry предикатлар рост мулохазага айланади;
Б) R муносабатни эквивалент муносабат эканлигини кўрсатинг;
В) R муносабат бўйича олинган барча эквивалент синфлар тўпламини ёзинг;
Г) R муносабат графини чизинг;
2. S муносабатнинг В={ 1, 2, 3 } тўпламдаги графиги
 1, 2 ,  1, 1 ,  2, 2 ,  2, 1 ,  3, 1 ,  3, 3  жуфтликлар орқали ифодаланади. S муносабат В тўпламда эквивалент муносабат бўладими?
3.Муносабатга мисоллар келтиринг;
А) рефлексив ва симметрик, аммо транзитиив бўлмаган;
Б) рефлексив ва транзитиив, аммо симметрик бўлмаган;
В) симметрик ва транзитив, аммо рефлексив эмас.

2.7. Тартиб муносабати

R бинар муносабат A тўпламда берилган бўлсин.

3.2.21.Таъриф. A тўпламдаги R бинар муносабат транзитив ҳамда антисимметрик муносабат бўлса, уни A тўпламдаги тартиб муносабат дейилади.
Агар A тўпламда R тартиб муносабати берилган бўлса, у холда A тўпламни R бинар муносабат ёрдамида тартибланган дейдилар. Тартиб муносабат барча жуфтликларни R бинар муносабат ёрдамида боғланган ёки боғланмаганлиги қараб, тўлик ва тўлиқ бўлмаган тартиб муносабатларга бўлинадилар.
Агар А тўпламдаги R муносабат, антисимметрик, транзитив ва тўлиқ муносабат бўлса, у ҳолда уни тўлиқ тартиб муносабат дейилади ва R муносабат А тўпламда тўлиқ тартиб муносабатини ўрнатган деб юритилади.
Масалан, R={ полковник, майор, капитан, лейтинат } тўпламда «унвони бўйича юқори» муносабатини қарайлик. Бу муносабат антисимметрик, транзитив ва тўлиқ бўлиб, R тўпламда тўлиқ тартиб ўрнатади. Уни графи қуйидагичадир.