2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

3.3.3.Таъриф.Агар f : АВ акслантиришда В тўпламнинг ҳар бир элементи А тўпламнинг камида битта элементининг образи бўлса, яъни f(A)=B бўлса, у холда бу акслантириш сурьектив (устига) акслантириш дейилади.
Бу акслантиришда В тўпламнинг элементларига текисликдан мос қўйилган нуқталарнинг барчасига стрелкалар келиб қадалади (2-шакл). Агар уни жадвал усулида ифодалайдиган бўлсак, жадвалнинг иккинчи йўлидаги барча элементларни прообразлари биринчи йўлда мажуд бўлади.

2- шакл
Мисоллар:

1. А={ a, b, c, d } ва B={ u, v } тўпламлар берилиб,  акслантириш ={ < a, v >, < b, u >, < c, u >, < d, u > } тўпламдан иборат бўлса, уни графигини қуйидагича ,

жадвалини эса

кўринишда ифодаланади. Бу акслантиришни суръективлиги равшандир.

2. :ZN₀ акслантиришни а Z учун (а)=a кўринишда аниқлайлик, бунда а ифода а сонини абсолют қийматини ифодалайди. Бу акслантириш сурьектив акслантиришдир, чунки хар бир b N₀ сонини Z тўпламда  акслантиришга нисбатан иккита -b ва b сонларидан иборат прообразлари мавжуддир. :АB ичига акслантиришни хар доим уситга акслантиришга келтириш мумкин. Бунинг учун бу акслантиришдаги В тўпламни (А) билан алмаштириш лозим.
3. А тўплам барча тўғри бурчакли учбурчаклар тўплами, В эса барча мусбат ҳақиқий сонлар R⁺ тўпламидан иборат бўлиб, :АR⁺ акслантириш ҳар бир тўғри бурчакли учбурчакка, ўша учбурчакнинг юзини ифодалайдиган сонни мос қўйиш билан аниқлансин. Бу акслантириш суръективдир, чунки исталган аR⁺ сони учун катетлари ва 2 cонларига тенг бўлган тўғри бурчакли учбурчак мавжуддир. Хатто бунда ҳар бир аR⁺учун  акслантиришга нисбатан чексиз кўп проообразлар мавжуддир. (Ростлигини аниқлашни ўқувчига топширамиз).
f:АВ акслантиришлар орасида, (А) тўпламнинг ҳар бир элементини ягона прообразга эга бўлган холи мухимдир. Бундай акслантиришни иньектив (ичига ўзаро бир қийматли) акслантириш дейилади. Бу акслантиришда А тўпламнинг элементларига мос қўйилган ихтиёрий ҳар хил нуқталардан чиққан стрелкалар албатта яна ҳар хил нуқталарга бориб қадалади. (5-шакл), яъни х₁,х₂А, х₁х₂ бўлганда (х₁)(х₂) бўлади.:АВ инъектив акслантиришни жадвал усулида ифодаласак; иккинчи йўлда В тўпламнинг ҳар бир элементи роса бир марта қатнашган бўлиб, улардан ҳар бирини биринчи йўлда ё прообрази мавжуд ё мавжуд бўлмайди. А=В=R бўлган ҳолда, акслантиришнинг инъективлигини геометрик маъноси, ОХ ўқига параллел тўғри чизиқ, функциянинг (акслантиришнинг) графигини биттадан ортиқ бўлмаган нуқтада кесиб ўтади.
Масалан, у=а^х, а>1 функцияси инъектив (3-шакл), аммо у=х² функцияси инъектив эмас (4-шакл).

Инъективлик тушунчасини математик анализда қарайдиган функциялар, яъни аниқланиш ва ўзгариш соҳаси ҳақиқий сонлар тўпламида бўлган функцияларда қандай маънога эга бўлишини аниқлайлик. Бундай функцияларни, агар х₁,х₂Dom ва х₁<х₂ бўлганда (х₁)<(х₂) ((х₁)>(х₂)) қатьий ўсувчи (камаювчи) функциялар деймиз. Равшанки, қатъий ўсувчи (камаювчи) функциялар инъективдир.

4.:АR акслантириш қуйидаги расмдагидек ифодаланса, у ҳолда бу функция иньектив, аммо монотон эмас.

5. функциясини кўрайлик. Бу функция инъектив, бироқ монотон эмас.

6.Қуйидаги расмда А тўпламни В тўпламга инъектив акслантирилган:

Уни жадвал кўринишдаги ифодаси қуйидагича бўлади.

7.А тўплам R ҳақиқий сонлар тўпламининг барча икки элементли қисм тўпламлари тўплами, В эса келтирилган квадрат тенгламалар тўплами бўлсин. Ҳар бир {a,b} тўпламга В тўпламдан илдизлари а, b бўлган тенгламани мос қўяйлик. Виета теоремасига кўра бундай акслантириш инъективдир.
8.А ва В тўпламларнинг ҳар бири барча натурал сонлар N тўпламдан иборат бўлиб,  акслантириш ҳар бир nN сонини n+1 сонига акслантирсин, яъни (n)=n+1. Бунда (A)=(N)=N\{1}, бўлиб,  акслантириш N тўпламни N тўпламни ичига ўзаро бир қийматли акслантиради.
9.f акслантириш N тўпламни 2N тўпламга қуйидаги қонуният асосида акслантирсин:
(1)=2, (2)=2, (3)=4, (4)=6, (5)=8, …. , (n)=2n-2,…Кўриш қийин эмаски, бу акслантириш сурьектив, аммо инъектив эмасдир.
:АВ инъектив акслантириш бўлса, у холда таърифга кўра (А) тўпламнинг ҳар бир b элементига аксланувчи А тўпламнинг битта ва фақат битта а элементи мос келади.Демак. :АВ инъектив акслантиришни графигидаги стрелкаларни йўналиши қарама-қарши томонга йўналтирсак, (А) (аммо ҳар доим ҳам В тўпламга эмас) тўпламни А тўпламга акслантириш ҳосил бўлади. Бу акслантиришни  акслантиришга тескари бўлган акслантириш дейилиб, уни ^-1 билан белгиланади (6-шакл). Равшанки, бу акслантириш суръектив акслантиришдир, чунки (А) тўпламнинг ҳар бир элементидан А тўпламнинг барча элементларига стрелкалар чиққандир.

Агар А ва В тўпламлар бўлиб, А тўпламни В тўпламга акслантирувчи инъектив акслантириш мавжуд бўлса, у ҳолда равшанки АВ тенгсизлик бажарилиши лозим.

 акслантириш бир вақтда ҳам суръектив, ҳам инъектив бўлган ҳол алоҳида диққатга сазовордир. Бундай акслантиришларни устига ўзаро бир қийматли акслантиришлар дейилиб, уни ҳозирги кундаги баъзи математикага мансуб адабиётларда «биъектив» акслантириш деб аталади.
Шундай қилиб, :АВ акслантириш, ҳар бир bB элементни прообрази aA битта ва фақат битта бўлган ҳолда устига ўзаро бир қийматли (биъектив) акслантириш бўлади.
Бу акслантиришда В тўпламнинг элементларига мос келувчи нуқталарнинг ҳар бирига албатта битта ва фақат битта стрелка келиб қадалади. :АВ биъектив акслантиришни жадвал кўринишда ифодаласак, унга мос келувчи жадвални иккинчи йўлида В тўпламнинг ҳар бир элементи роса бир марта қатнашган бўлиб, албатта уни биринчи йўлда прообрази мавжуд бўлади.А=R=R бўлган ҳолда, акслантиришнинг биъективлигини геометрик маъноси, ох ўқига параллел бўлган тўғри чизиқ, функциянинг (акслантиришнинг) графигини фақат битта нуқтада кесиб ўтади. Масалан, у=х³ функцияси биъектив функцияга мисол бўла олади.