2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

3.2.13.Таъриф. А тўпламдаги R бинар муносабат учун, x ва y элементлар А тўпламнинг ихтиёрий элементлари бўлганда,  x,y  R ва  y,х  R шартлардан х=у келиб чиқса ,R бинар муносабатга антисимметрик муносабат дейилади.
Антисимметрик муносабатнинг графи йўналтирилмаган қиррага эга эмас, яъни у  а, b  қиррага эга бўлса,у холда  b, a  қиррани бўлиши мумкин эмас, аммо сиртмоққа эга бўлиши ҳам, бўлмаслиги ҳам мумкин. Антисимметрик муносабатга мисол сифатида, бирор тўпламларнинг тўпламидаги қисм тўплам бўлишлик «  « муносабатини олиш мумкин. Шунингдек одамлар тўпламидаги, «жияни бўлишлик», «эри бўлишлик»,«хотини бўлишлик» муносабатлари, хамда бурчаклар тўпламидаги «катта бўлишлик» муносабати антисимметрик муносабатларга мисол бўла оладилар.
3.2.14.Таъриф.А тўпламдаги R бинар муносабат учун, х, у ва z элементлар А тўпламнинг ихтиёрий элементлари бўлганда, (хRу)(уRz)>xRz ўринли бўлса, R бинар муносабатни антитранзитивлик муносабат дейилади .
Антитранзитив муносабатга текисликдаги тўғри чизиқлар (7-расм) тўпламида аниқланган перпендикуляр муносабатига мос келувчи граф қуйидагича бўлиб, антирефлексив, симметрик ва антитранзитивдир.


e

Агар антитранзитив муносабатни графида қандайдир учта a, b ва с учлар учун йўналтирилган  а, b  ва  b, с  қирралар мавжуд бўлсалар, у холда  а, с  қиррани бўлиши мумкин эмас. Транзитив ва антитранзитив муносабатлари билан бир қаторда, шундай муносабатлар ҳам мавжудки улар бир вақтда транзитив ҳам, антитранзитив ҳам эмасдирлар.

3.2.15.Таъриф.Агар А тўпламдаги R бинар муносабат учун, х ва у ( ху ) элементлар А тўпламнинг ихтиёрий элементлари бўлганда xRy ёки yRx муносабатлардан камида биттаси ўринли бўлса, R бинар муносабатни тўлиқ муносабат дейилади.
Тўлиқ муносабатни графидаги хар қандай иккита уч камида битта стрелка билан бирлаштирилган. А= 2, 4, 8, 16  тўпламда «x сони y сонига қолдиқсиз бўлинади» муносабати-рефлексив, антисимметрик, транзитив ҳамда тўлиқ бўлиб, унинг графи қуйидагичадир:


3.2.16.Таъриф. А тўпламдаги R бинар муносабат учун х ва у элементлар а тўпламнинг ихтиёрий элементлари бўлганда,ё х=у, ё хRу, ё уRx эканлиги келиб чиқса, R бинар муносабатга боғлиқ муносабат дейилади.
Агар R муносабат боғлиқ бўлса, у холда унинг ихтиёрий хар хил 2 та учи қирра билан бирлаштирилган. Бунинг аксинчаси ҳам ўринлидир. Бирор сонлар тўпламидаги «кичик ()»муносабати боғлиқ муносабатига мисол бўлади.
Қуйидаги жадвалда A тўпламдаги R бинар муносабатнинг муҳим хоссаларини ва уларга мос хусусиятларини келтирамиз.