2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

М У Н О С А Б А Т Л А Р

Антисиметрик	транзитив	Рефлексив	Антирефлексив	Тўлиқ	Тўлиқмас
Қатъий	+	+		+
Қатъиймас	+	+	+
Тўлиқ	+	+			+
Тўлиқмас	+	+				+

Машқлар:

1. 
   P(M) тўплам M тўпламнинг барча қисм тўпламларининг тўплами бўлсин.
   

P(M) тўпламдаги  муносабати қандай тартибланган муносабат эканлигини аникланг.

2. 
   Натурал сонлар тўпламдаги бўлиниш муносабати қандай тартибланган муносабат эканлигини аниқланг.
   
3. 
   Қуйидаги берилган кесмалар тўпламида аниқланган муносабатларнинг орасида қайсилар қатъий тартибланган муносабат эканлигини аниқланг.
   

а) « х кесма y кесмадан узунроқ » ;
б) « х кесма y кесмадан 3 марта қисқароқ » ;
в) « х кесма y кесмадан 7 см узунроқ » ;
г) « х кесма y кесмадан калта » ;

2.8. ТАРТИБЛАНГАН ТЎПЛАМ

Тартиб муносабатнинг энг муҳим хусусий ҳолларидан бири чизиқли тартибдир.

3.2.24.Таъриф. А тўпламдаги R тартиб муносабат учун, x ва y элементлар А тўпламнинг ихтиёрий элементлари бўлганда, х R y, х=y ва y R x муносабатларидан фақат биттаси ўринли бўлса, уни чизиқли тартибланган муносабат дейилади.
Чизиқли тартибланмаган тартиб муносабатни, одатда қисман тартибланган муносабат ҳам дейилади. Барча мусбат бутун сонлар тўпламида m бутун сони n бутун сонга бўлинади, муносабати, қисман тартибланган муносабатга мисол бўлаолади. Барча ҳақиқий сонлар тўпламидаги « кичик » муносабати чизиқли тартибланган муносабатдир. Натурал сонлар тўпламидаги бўлиниш муносабати эса уни чизиқли тартибламайди.
3.2.25.Таъриф. Тартибланган тўплам деб, < A, R > жуфтликка айтилиб, бунда А бўш бўлмаган тўплам, R эса А тўпламдаги тартиб муносабатдир.
< R, «< »> жуфтлик тартибланган тўпламдир, чунки R , «  » эса R ҳақиқий сонлар тўпламидаги « кичик » муносабатдир.
3.2.26.Таъриф. Агар А тўпламдаги R тартиб муносабат чизиқли тартибланган муносабат бўлса, у ҳолда  А, R  жуфтликка чизиқли тартибланган тўплам дейилади.
 А, R  чизиқли тартибланган тўплам бўлиб, a, b ва c элементлар А тўпламнинг элементлари бўлсин. Агар aRb ва bRc шартлари ўринли бўлсалар, у ҳолда b элементни а ва с элементлар орасида ётган элемент ҳам деб айтилади.
Масалан, барча натурал сонлар N тўплами « х  у » муносабати ёрдамида тартибланган бўлса, 2  9 ва 1  2 эканлигидан 2 сони 1 ва 9 сонлари орасида ётиши келиб чиқади.
Агар А тўплам R чизиқли тартиб муносабат ёрдамида тартибланган бўлиб, унинг ихтиёрий иккита элементи орасида фақат чекли сондаги элементлар тўплами ётса, у ҳолда бу тўпламни дискрет тўплам деб аталади.
Агар чизиқли тартибланган тўпламнинг ихтиёрий иккита ҳар хил элементлари орасида, ҳар доим улар орасида ётувчи элемент мавжуд бўлса, у ҳолда бу тўпламни зич тўплам дейилади.
Масалан, барча рационал сонлар Q тўплами « х  у » муносабатига кўра тартибланган бўлиб зичдир, чунки унинг ихтиёрий х ва у (ху) элементлари орасида сони мавжуд бўлиб, t cони х ва у сонлари орасида ётади.
3.2.27.Таъриф. Агар А тўпламдаги R тартиб муносабат қисман тартибланган муносабат бўлса, у ҳолда < A, R > жуфтликка қисман тартибланган тўплам дейилади.
3.2.28.Таъриф.  А,  - бирор тартибланган тўплам бўлсин.А тўпламнинг а элементи учун, х элемент А тўпламнинг ихтиёрий а элементдан фарқли элементи бўлганда ах (ха) шарт ўринли бўлса, А тўпламнинг а элементига А тўпламдаги энг кичик (энг катта) элемент дейилади.
Хар қандай тартибланган тўпламда биттадан ортиқ бўлмаган энг кичик ва биттадан ортиқ бўлмаган энг катта элемент мавжуд. Энг катта (энг кичик) элементга эга бўлган тартибланган тўпламнинг юқоридан (қуйидан) чегараланган тўплам юқоридан ҳамда қуйидан чегараланган тартибланган тўпламни эса оддий қилиб чегараланган тўплам дейилади.
3.2.29.Таъриф. А,  - тартибланган тўплам бўлсин. xэлемент А тўпламнинг ихтиерий элементи бўлганда, ха шартни бажарилишидан, х=а келиб чиқса (агар а  х шартни бажарилишидан, а=х келиб чиқса) а элементга А тўпламнинг минималь ( максимал) элементи дейилади.
Тартибланган тўплам бир нечта максимал, бир нечта минимал элементга эга бўлиши мумкин. Энг катта элемент доим максимал, аммо акси ҳар доим ўринли эмас. Максимал элементлар бир нечта бўлиши мумкин, аммо, агар энг катта элемент мавжуд бўлса, у ягонадир.
Худди шундай мулохазалар энг кичик ва минималь элементлар учун ҳам ўринлидир.
Мисоллар:

1. 
   Агар А={ 1, 2, 3, 4, 5 } ва х y ифода y сони х сонига қолдиқсиз бўлинади муносабатини англатса, у холда
   

={ 1, 1 ,  2, 2 ,  3, 3 ,  4, 4 , 5, 5 ,  1, 2 ,  1, 3 , 1, 4 ,
 1, 5 , 2, 4  } бўлиб, 1 сони А тўпламдаги энг кичик элементдир. 3, 4, 5 сонлари эса А тўпламдаги максимал элементлардир. Бу мисолдаги А тўпламда энг катта элемент мавжуд эмас.

2. 
   N₀\{0,1} тўпламда бўлиниш муносабати, равшанки тартиб муносабатдир. Бу тўпламдаги ихтиёрий туб сон минимал элемент хизматини ўтайди. Чизиқли тартибли тўпламда энг кичик (энг катта) ва минимал (максимал) элементлар тушунчаси бир хилдир (ёки устма-уст тушади).
   

3.2.30.Таъриф. Агар А тўпламнинг ихтиёрий бўш бўлмаган қисм тўплами энг кичик элементга эга бўлса,  А, R чизиқли тартибланган тўпламга, тўлиқ тартибланган тўплам дейилади.
Мисол, 1. Натурал сонлар N  тўпламда « кичик » муносабати «» бўлса, N, «» , тўплам тўлиқ тартибланагн тўплам бўлади. Ҳақиқатдан ҳам, N,«»  тўплам, чизиқли тартибланган тўплам бўлиши билан бирга, N тўпламнинг ихтиёрий бўш бўлмаган қисм тўплами энг кичик элементга эгадир.
2. Барча ҳақиқий сонлар тўпламида «кичик»(«») муносабати, тўлиқ тартибланган тўплам бўлмайди, чунки  R, «<»  чизиқли тартибланган бўлади, аммо R тўпламнинг ихтиёрий бўш бўлмаган қисм тўплами, масалан, ]-, 0] тўплам энг кичик элементга эга эмас.