II tur egri chiziqli integral. Kuchning bajarilgan ishi. Moddiy nuqta
biror egri
chiziq bo‘ylab harakatlanganda unga ta’sir qiluvchi o‘zgaruvchan kuchning
bajargan ishini hisoblash II tur egri chiziqli integral tushunchasiga olib keladi.
( ) nuqta egri chiziq boylab nuqtadan nuqtaga qarab kuch
ta’sirida harakatlanayotgan bo‘lsin.
kuch nuqta harakatlanganda qiymati
bo‘yicha ham, yo‘nalishi bo‘yicha ham o‘zgaradi, ya’ni
nuqtaning
funksiyasidan iborat:
( ) nuqta holatdan holatga o‘tganda kuch
bajargan
̃ ishni hisoblaymiz (4-rasm). Buning uchun egri chiziqni
,
,…,
nuqtalar yordamida
nuqtadan nuqtaga
qarab
ta qismga ajratamiz va
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vektorni
orqali belgilaymiz.
kuchning
nuqtadagi qiymatini
orqali belgilaymiz. U
holda
skalyar ko‘paytmani
kuchning
̆
yoy boylab bajargan ishining taqribiy
qiymati sifatida olish mumkin:
̃
.
( ) va ( ) funksiyalar
kuchning mos ravishda
va o‘qlardagi
proyeksiyalari bo‘lsin, ya’ni
( ) ( )
va
orqali
va
koordinatalarning
nuqtadan
nuqtaga o‘tganda olgan orttirmalarini
belgilaymiz, ya’ni
,
va natijada
tenglikka ega bo‘lamiz. U holda
(
)
(
)
bo‘ladi. Shuning uchun
kuchning butun egri chiziq bo‘ylab bajargan ̃ ishi
taqriban
̃
, (
)
(
)
- (21)
yig‘indiga teng bo‘ladi.
II tur egri chiziqli integral ta’rifi.
tekislikda egri chiziq berilgan va
( ), ( ) funksiyalar bu egri chiziqda aniqlangan bo‘lsin. egri chiziqni
,
, …,
nuqtalar yordamida nuqtadan nuqtaga qarab
yo‘nalishda uzunliklari
( ) bo‘lgan ta
̆
yoylarga
ajratamiz. Har bir
̆
elementar yoyda ixtiyoriy ravishda
(
) nuqta
tanlaymiz va
4-rasm
(
)
,
(
)
(22)
yig‘indilarni tuzamiz, bu yerda
,
bo‘lib, ular
̆
yoyning mos ravishda
va o‘qlardagi proyeksiyalari (13.6-rasm).
(22) yig‘indilar mos ravishda
( ) funksiyaning o‘zgaruvchi bo‘yicha
va
( ) funksiyaning o‘zgaruvchi bo‘yicha
integral yig‘indilari deb ataladi.
2-Ta’rif. Agar
yoy uzunliklarining
eng kattasi nolga intilganda
(22) yig‘indilar chekli limitga intilsa va bu limit
yoyning bo‘linish usuliga va
(
) nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, ularni mos ravishda ( )
funksiyadan
o‘zgaruvchi bo‘yicha va ( ) funksiyadan o‘zgaruvchi
bo‘yicha olingan II tur egri chiziqli integrallar deb ataymiz va ullarni mos
ravishda
( ) va
( )
orqali belgilaymiz.
Shunday qilib
( )
(
)
va
( )
(
)
.
Umumiy ko‘rinishdagi
( ) ( ) II
tur egri chiziqli integral
( ) ( )
( )
( )
tenglik bilan aniqlanadi.
Endi kuchning bajargan ishi masalasiga qaytadigan bo‘lsak (21) taqribiy
tenglikning o‘ng tomonida
( ) va ( ) funksiyalarning egri chiziq
bo‘ylab umumiy ko‘rinishdagi II tur egri chiziqli integral yig‘indilari turibdi.
Shuning uchun yoy uzunliklarining
eng kattasi nolga intilganda bu
taqribiy tenglik aniq tenglikka aylanadi va
( ) ( ) kuch bajargan
ishning qiymati
̃
( ) ( )
tenglik bilan topiladi.
Fazoviy
egri chiziq boylab
( ) ( )
( ) egri chiziqli integral xuddi shu singari aniqlanadi.
II tur egri chiziqli integralning mavjudligi va uni hisoblash.
yassi chiziq
( ) ( ) , -
parametrik tenglama bilan berilgan bo‘lsin, bu yerda
( ) ( ) funksiyalar , -
kesmada uzluksiz. Parametrning
qiymatiga nuqta, qiymatiga esa
nuqta mos keladi deb faraz qilamiz.
2-Teorema. Agar
egri chiziqni tasvirlovchi ( ) va ( ) funksiyalar uzluksiz
differensiallanuvchi,
( ) va ( ) funksiyalar esa egri chizqda uzluksiz
bo‘lsa,
( ) va ( ) funksiyalardan egri chizq boylab olingan umumiy
ko‘rinishdagi II tur egri chiziqli integral mavjud va uning uchun
( ) ( )
[ ( ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( ))
( )]
(23)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Agar
egri chiziq ( ) , - tenglama bilan berilgan va ( )
funksiya va uning
( ) hosilasi , - kesmada uzluksiz bo‘lsa, o‘zgaruvchini
parametr sifatida olamiz, natijada
egri chiziqning parametrik tenglamasi:
( ) , - ko‘rinishda bo‘ladi. U holda (23) formuladan
( ) ( )
[ ( ( )) ( ( ))
( )] (24)
formulani hosil qilamiz. Xususiy holda
( )
( ( )) (25)
Agar fazoviy silliq
egri chiziq ( ) ( ) ( ) , -
tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, egri chiziqli integral
( ) ( ) ( )
[
(
(
)
(
)
( )
)
(
)
(
(
)
(
)
( )
)
(
)
(
(
)
(
)
( )
)
(
)]
(26)
formula bilan hisoblanadi.
5-Misol.
egri chiziqli integralni hisoblang, bu yerda
integrallash
,
,
egri chiziqning
( ) va ( ) nuqtalar
orasidagi qismi boyicha olingan.
►Hosilalari:
( ) ,
( ) ,
( )
bo’ladi. U holda (27) formulaga
ko‘ra
(
)
(
)
|
◄
