17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

1-Ta’rif. Agar eng katta 

  yoy uzunligi nolga intilganda:       ( u holda       

bo‘ladi), (1) integral yig‘indilar chekli limitga intilsa va bu limit 

   egri chiziqni   

bo‘lishlariga  va   

 

 

( 

 

   

 

)  nuqtalarning  tanlanishiga  bog‘liq  bo‘lmasa,  uni  biz 

 (    )  funksiyaning      egri  chiziq  uzunligi  bo‘ylab  integrali  yoki     tur  egri 

1-rasm 

     

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

 

  

---

chiziqli  integral  deb  ataymiz  va  uni 

 

  

 (    )    (yoki   

 

 (    )  )  orqali 

belgilaymiz. 

Shunday qilib, ta’rifga ko‘ra 

 

  

 (    )        

   

 

 

   

 ( 

 

   

 

)  

 

                               (2) 

Bu holda 

 (    ) funksiya    egri chiziq bo‘ylab integrallanuvchi,    egri 

chiziq  integrallash  konturi, 

   integrallashning  boshlang‘ich,     esa  oxirgi 

nuqtasi deb ataladi. 

(1)  integral  yig‘indi 

    egri  chiziqdagi  yo‘nalishga  bog‘liq  bo‘lmaganligi 

tufayli  I  tur  egri  chiziqli  integral  ham  egri  chiziqdagi  yo‘nalishga  bog‘liq 

bo‘lmaydi. 

    egri  chiziq  yopiq  bo‘lmasin,      egri  chiziq  ham  xuddi  shu  egri 

chiziq deb tushuniladi, faqat yo‘nalish 

  nuqtadan   nuqtaga qarab yo‘nalgan deb 

hisoblanadi. U holda  

 

  

 (    )      

  

 (    )                                       (3) 

tenglik o‘rinli bo‘ladi. 

 

Fazoviy  egri  chiziq  bo‘ylab  integral  ham  xuddi  shu  singari  kiritiladi. 

   

fazoviy  egri  chiziq  yotgan 

   sohada   (       )  funksiya  aniqlangan  bo‘lsin.     

egri  chiziqni 

 

 

       

 

       

 

      nuqtalar  yordamida   

   

 

 

  elementar 

yoylarga  ajratuvchi 

    * 

 

   

 

       

 

+  bo‘linishni  bajaramiz.  Har  bir   

   

 

 

, 

(            ) yoyda  

 

( 

 

   

 

   

 

) nuqtani tanlab,  

 

 

   

 ( 

 

   

 

   

 

)  

 

 

integral  yig‘indini  tuzamiz  va 

 ( )      bo‘lganda  limitga  o‘tamiz,  natijada 

fazoviy 

   egri chiziq bo‘ylab integral qiymatini hosil qilamiz: 

 

  

 (       )        

   

 

 

   

 ( 

 

   

 

   

 

)  

 

                                  (4) 

bu yerda ham 

 

   

 

 

 yoy uzunligini 

  

 

 orqali va bu uzunliklarning eng kattasini 

     ( ) orqali belgilangan.