15-mavzu 15- ma’ruza

15-MAVZU

15- MA’RUZA

3.5. FUNKSIYANING UZLUKSIZLIGI
3.5.1. Funksiya uzluksizligining ta’riflari

funksiya nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo‘lsin.

1-ta’rif. Agar funksiya nuqtada chekli limitga ega bo‘lib, bu limit funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng, y’ani

(3.5.1)

bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.

tenglik uchta shartning bajarilishini anglatadi:

1) funksiya nuqtada va uning atrofida aniqlangan;

2) funksiya da limitga ega;

3) funksiyaning nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga teng.

ekanidan (3.5.1) tenglikni

(3.5.2)

ko‘rinishda yozish mumkin. Demak, uzluksiz funksiya uchun limitga o‘tish va funksiya belgilarining o‘rnini almashtirish mumkin.

Funksiya limitining ta’rifi asosida funksiya uzluksiligining ta’rifini « tilida» quyidagicha ifodalash mumkin.

2- ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.

funksiyaning nuqtadagi qiymati o‘zgarmas son hamda da bo‘lishini inobatga olib, (3.5.1) tenglikni

(3.5.3)

ko‘rinishda yozamiz.

ayirmaga argumentning nuqtadagi orttirmasi deyiladi va bilan belgilanadi, ayirmaga esa funksiyaning nuqtadagi orttirmasi deyiladi va deb belgilanadi.

Shunday qilib,

, .

Demak, funksiyaning nuqtadagi orttirmasi ning fiksirlangan qiymatida argument orttirmasining funksiyasi bo‘ladi (24-shakl).

(3.5.3) tenglik yangi belgilashlarda

(3.5.4)

ko‘rinishni oladi.

(3.5.4) tenglikni uzluksizlikning argument orttirmasi va funksiya orttirmasi tushunchalariga asoslangan ta’rifi sifatida quyidagicha ifodalash mumkin.

3-ta’rif. Agar argumentning nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning shu nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.

Funksiyaning nuqtadagi uzlukizligini tekshirishda keltirilgan ta’riflarning

biridan foydalanish mumkin.

Misol

funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. funksiya da aniqlangan. Istalgan nuqtani olamiz va bu nuqtada ni topamiz:

.

Bundan kelib chiqadi, chunki

chegaralangan funksiyaning cheksiz kichik funksiyaga ko‘paytmasi cheksiz kichik bol‘adi.

Demak, 3-ta’rifga ko‘ra funksiya nuqtada uzluksiz.