15-mavzu 15- ma’ruza

4-ta’rif. Agar bo‘lsa, funksiya nuqtada o‘ngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

1-ta’rif va 4-ta’riflardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun u shu nuqtada ham chapdan va ham

o‘ngdan uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.
3.5.2. Uzluksiz funksiyalarning xossalari

Nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari

1-teorema (uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar). va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda , va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Isboti. va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun ular bu nuqtada va limitlarga ega. U holda funksiyaning limiti haqidagi teoremalarga ko‘ra , va funksiyalarning nuqtadagi limitlari mavjud va ular mos ravishda va ga teng bo‘ladi. Bu qiymatlar va funksiyalarning algebraik yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining nuqtadagi qiymatlaridan iborat. U holda 1-ta’rifga ko‘ra , va funksiyalar nuqtada uzluksiz.

Bu teorema chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisi va ko‘paytmasi uchun ham o‘rinli bo‘ladi.

2-teorema (murakkab funksiyaning uzluksizligi). funksiya nuqtada uzluksiz, funksiya esa nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

IIsboti. funksiya nuqtada uzluksizligidan , , ya’ni da bo‘ladi. Shu sababli

funksiyaning uzluksiligidan

kelib chiqadi. Bu murakab funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi.

2-teorema yordamida (3.5.2) tenglikni quyidagicha umumlashtirish mumkin.

Agar funksiya nuqtada limitga ega bo‘lib, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda murakkab funksiya uchun

(3.5.5)

bo‘ladi.

Bu tenglik uzluksiz funksiya belgisi ostida limitga o‘tish qoidasini ifodalaydi

va funksiyaning limitini topishda foydalaniladi.

Misol

limitni topamiz:



funksiya va funksiyalarning murakkab funksiyasi. va funksiya nuqtada uzluksiz.

U holda (3.5.5) tenglikka ko‘ra

Butun sonlar o‘qida aniqlangan funksiyani qaraymiz. da bo‘ladi (3.41 band, 1-natija). Demak, o‘zgarmas funksiya

butun sonlar o‘qida, ya’ni o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz.

funksiya ham butun sonlar o‘qida uzluksiz, chunki .

Bundan 1-teoremaga ko‘ra funksiya ko‘paytmalaridan iborat darajali funksiya hamda o‘zgarmas va darajali funksiyalardan arifmetik amallar orqali hosil qilingan ko‘phad (butun-ratsional funksiya) istalgan nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Shu kabi yuqorida keltirilgan teoremalar va limitlar haqidagi teoremalar yordamida asosiy elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatish va ushbu teoremani isbotlash mumkin.