14-Mavzu: Yuqori tartibli hosila va differensiallar. Differensial hisobning asosiy teoremalari: Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari. Lopital qoidasi

Teorema. (Orttirmalar nisbati haqidagi Koshi teoremasi)

Agar va funksiyalar kesmada uzluksiz bo‘lib, oraliqda differensiallanuvchi bo‘lsa, bundan tashqari oraliqning barcha nuqtalarida bo‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Misol. va funksiyalar da uzluksiz va uning barcha ichki nuqtalarida differensiallanuvchi. Ma’lumki, u holda:



,

da bundan, yoki demak,

funktsiya (a, b) intervalda berilgan ixtiyoriy nuqtada hosilaga ega bo’lsin. Bu ham, umuman aytganda, x o’zgaruvchining funktsiyasi bo’lib, uning hosilasini qarash mumkin.

funktsiya hosilasi ning hosilasi berilgan funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va

yoki

Kabi belgilanadi. Demak,

funktsiyaning uchinchi, to’rtinchi va hokazo tartibdagi hosilalari xuddi

yuqoridagidek kiritiladi.

Umuman, y=f(x) funktsiya (n-1)-tartibli hosilasi ning hosilasi berilgan f(x) funktsiyaning n-tartibli hosilasi deyiladi. Demak,

y=t(x) funktsiyaning hosilalari uning yuqori tartibli hosilalari deyiladi.

Funktsiyaning yuqori tartibli xosilalaridan fanning, texnikaning turli sohalarida

foydalaniladi.

Funktsiyaning yuqori tartibli hosilalarini topish uchun uning hamma oldingi

tartibli hosilalarini hisoblash kerak bo’ladi. Biroq, ayrim funktsiyalarning n-tartibli hosilalarini bir yo’la topish imkonini beradigan formulalar mavjud. Biz quyida bunday formulalarni keltirib chiqaramiz.

bo’lsin. Ravshanki,

Bu munosabatlardan ixtiyoriy n uchun

Bo’lishini ko’rish qiyin emas. (Bu formulaning to’g’riligi matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi).

Xususan, bo’lganda y= bo’lib, uning n-tartibli hosilasi

bo’ladi.

bo’lsin. Bu funktsiyaning yuqori tartibli hosilalarini birin

ketin hisoblaymiz:

Keying tenglikning o’rinliligi matematik induksiya usuli yordamida ko’rsatiladi.

Xususan, y= bo’lsa, uning n-tartibli hosilasi bo’ladi.

bo’lsin. Bu funktsiyaning yuqori tartibli hosilalarini birin-ketin hisoblaymiz:

Keyingi tenglikning o’rinliligi matematik induksiya usuli yordamida ko’rsatiladi.

Endi ikki funktsiya yig’indisi, ayirmasi hamda ko’paytmasining yuqori tartibli hosilalarini topish qoidalarini keltiramiz.

va funktsiyalar (a, b) intervalda berilgan bo’lib, nuqtada

n-tartibli hosilalarga ega bo’lsin. U holda ushbu munosabatlar

o’rinli:

1. 
   c-const ;
   
2. 
   
   
3. 
   
   

bunda

Bu tengliklarning birini , masalan c) sini matematik induksiya usulidan foydalanib isbotlaymiz.

Ma’lumki, tenglik o’rinli.

Demak, c) tenglik n=1 da to’g’ri.

Faraz qilaylik, c) formula n=k bo’lganda to’g’ri bo’lsin:

Endi c) tenglikning n=k+1 uchun to’g’riligini ko’rsatamiz.

Ta’rifga ko’ra

bo’ladi.

Yuqoridagi (10) munosabatdan foydalanib topamiz:

[

+

=

)
Agar tenglikni etiborga olsak, u holda ushbu

formulaga ega bo’lamiz.Bu esa c) formulaning n=k+1 da to’g’riligini bildiradi.

Demak, c) formula barcha n lar uchun to’g’ridir.

Odatda bu formula Leybnis formulasi deyiladi.

Misol. Ushbu funktsiyaning 100- tartibli hosilasini hisoblang.

deb, so’ng Leybnis formulasidan foydalanib topamiz:
+
=
funktsiya nuqtada ikkinchi tartibli hosilaga ega bo’lsin.

5-Ta’rif. funktsiya differensiali dy ning nuqtadagi differensiali funktsiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi va

kabi belgilanadi.

Demak,

Differensiallash qoidasiga ko’ra:

Shunday qilib, funktsiyaning ikkinchi tartibli differensiali uning ikkinchi tartibli hosilasi orqali quyidagicha yoziladi:

Funktsiyanig uchinchi, to’rtinchi va hokazo tartibdagi differensiallari xuddi shunga o’xshash ta’riflanadi.

Umuman f(x) funktsiya nuqtada n-tartibli hosilaga ega bo’lsin.

Funktsiyaning tartibli differensiali dan olingan differensial

funktsiyaning x nuqtadagi n- tartibli differensiali deb ataladi va

kabi belgilanadi.

Demak,

Yuqoridagidek bu holat ham funktsiyaning n-tartibli differensialini uning n-tartibli

Hosilasi orqali

Ko’rinishida yozilishini matematik usuli yordamida ko’rsatish mumkin.

va funktsiyalar (a, b) Intervalda berilgan bo’lib, ular x

nuqtada n-tartibli differensiallarga ega bo’lsin. U holda ushbu

formulalar o’rinli bo’ladi:

1. 
   [c const;
   
2. 
   
   
3.