14-mavzu. Optimallashtirish masalalari. Transport masalasi. Ma’ruza mashg’uloti rejasi

Ta’rif. Agar tenglik bajarilsa, mos transport masalasi yopiq, aks holda ochiq masala deb ataladi.
Teorema. Ixtiyoriy yopiq transport masalasi yechimga ega.
Isbot. Teorema shartiga ko‘ra
. U holda , reja bo‘ladi, haqiqatan,
, .
Ko‘rsatamizki, (2), (3), (4) rejalar to‘plamida - chiziqli maqsad funksiya chegaralangan. Quyidagi belgilashlarni kiritaylik:
, u holda bir tomondan , ikkinchi tomondan , demak, . Shunday qilib, bo‘sh bo‘lmagan rejalar to‘plamida maqsad funksiya chegaralangan ekan, bundan kelib chiqadiki, masala yechimga ega. Teorema isbot bo‘ldi.
Ochiq transport masalasida ikkita hol bo‘lishi mumkin:
a) - ta’minot iste’moldan ortiq;
b) - iste’mol ta’minotdan ortiq. Ikkala holda ham maqsad funksiya ko‘rinishi o‘zgarmaydi. Birinchi-a) holda sohta -iste’molchi punkt, uning mahsulot miqdori- ; ikkinchi b) holda sohta -ta’minotchi punkt kiritilib, uning mahsulot miqdori- deb olinadi.
Bunda sohta ta’minotchidan barcha iste’molchilarga olib borish harajatlari nol deb olinadi. Aslida, bu yo‘nalishlar bo‘yicha mahsulot tashilmaydi. Sohta iste’molchi bo‘lgan b) holda ham, unga mahsulot tashish harajati nolga teng deb olinadi. Bu bilan unga optimal rejada eng kam harajatga ega bo‘lgan yo‘l to‘g‘ri keladi. Demak, ochiq transport masalasini har vaqt yopiq holga keltirish mumkin ekan. Shuning uchun quyida keltirilgan yechish usullari faqat yopiq (1)- (4) ko‘rinishdagi transport masalasi uchun berilgan. (1)- (4) transport masalasini quyidagi jadval

Ta’m	Iste’molchilar						mavjud mahsulot
	B1	B2	. . .	Bj	. . .	Bn	miqdori
A1	c11	c12	. . .	c1j	. . .	c1n
A2	c21	c22	. . .	c2j	. . .	c2n
Ai	ci1	ci2	. . .	cij	. . .	cin
Am	cm1	cm2	. . .	cmj	. . .	cmn
talab	b1	b2	. . .	bj	. . .	bn

1-jadval

ko‘rinishda berish, usullarni bayon qilishni osonlashtiradi. Bunda harajatni bildiruvchi sonlari kataklarning o‘ng yuqori burchagiga yoziladi. Oxirgi ustun va satrlarga mos ravishda ta’minot punktlarida bo‘lgan mahsulot va iste’molchilarga kerak bo‘lgan talab-mahsulot miqdorlari yoziladi. Endi boshlang‘ich reja (boshlang‘ich taqsimot) ni topish usullari bilan tanishib chiqamiz.

14.2. ShIMOLIY-G‘ARB BURChAK USULI
Bu usul -iste’molchining talabini -ta’minotchini mahsuloti bilan qondirishdan boshlanadi. Agar talab to‘la qondirilsa (buning uchun bo‘lishi kerak), unda ni ortib qolgan mahsuloti bilan ning talabini qondirishga o‘tiladi va hokazo. Agar ta’minotchi ning talabini qondira olmasa, u holda ta’minotchiga o‘tiladi va uning yordamida talabi qondiriladi. Bu jarayon davomida taqsimlangan mahsulotlar miqdori mos kataklarda ko‘rsatib (yozib) boriladi. Bu jarayon barcha mahsulotlarni iste’molchilarga to‘la tarqatib bo‘lgunga qadar davom ettiriladi. Bu jarayonning har bir qadamida, yoki mos ta’minotchi mahsuloti tugaydi, yoki mos iste’molchi talabi to‘la qondiriladi. Agar ikkala hol bir paytda ro‘y bersa, bu katakning o‘ng tomonidagi yoki pastidagi katagiga nol yozib qo‘yiladi. Boshlang‘ich rejani xosmas (bu haqda quyiga qarang) qilish uchun shunday qilinadi.
Bu usulni quyidagi misolda bayon etamiz. - ta’minotchilar bo‘lib, ularning mahsulot miqdorlari mos ravishda ga teng bo‘lsin. Shu mahsulotlarga ehtiyoji bo‘lgan -iste’molchilar bo‘lib, ularning mahsulotga bo‘lgan talablari mos ravishda , ga teng bo‘lsin. ta’minotchidan -iste’molchiga birlik mahsulot tashish harajati quyidagi , , , , , , sonlar bilan aniqlangan bo‘lsin. Bu masalani 1-jadval kabi, quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

Ta’minot chilar	Iste’molchilar					mavjud mahsulot miqdori
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	5 80	6 20	9	8	3		100
A2	9	4 40	3 110	4 0	5		150
A3	8	7	9	2 180	5 20		200
A4	3	4	5	4	8 150		150
talab	80	60	110	180	170		600

2-jadval
-ta’minotchining mahsuloti-100 yordamida eng kichik tartib raqamli iste’molchi bo‘lgan ning talabini qondirishdan boshlaymiz: 100 ning 80 birligini ga ajratamiz, qolgan 100-80=20 birlik mahsulotni iste’molchiga beramiz, yetmagan 60-20=40 mahsulot miqdorini ta’minotchi mahsuloti bilan to‘ldiramiz. ning qolgan mahsuloti 150-40=110 iste’molchini talabi 110 uchun yetarli. Shunday qilib, bu qadamda ta’minotchining ham mahsuloti tugadi, iste’molchi talabi ham to‘la qondirildi. Shuning uchun keyingi katakka nol soni yozib qo‘yilgan (2-jadval).
Bu jarayonni oxirigacha davom ettirsak boshlang‘ich reja (taqsimot)ga ega bo‘lamiz: , , , . Bunda hisoblash mumkinki, maqsad funksiyaning qiymati 2670 birlikka teng bo‘ladi.