14-ma’ruza. 7-bob. 14-mavzu: tekis egilish

O z o’q esa sterjenning bo’ylama o’qi bo’lib, Ou va Ox o’qlari esa
kesimning markaziy bosh inersiya o’qlari bilan ustma - ust yotadi
O’rta sirt ustida ixtiyoriy M nuqta olib, uning atrofida tomonlari ds
va dx ga teng bo’lgan elementar yuzacha ajratamiz. M nuqtaning holati

boshlang’ich
M ₀ . Bilan hisoblanadi; ya’ni x_M va
s_M bilan aniqlanadi.

Bundan tashqari M nuqta holati
^xM , ^yM
, z_M
lar bilan belgilanadi.

Elementar yuzachaning umumiy ko’chishini ilgarilanma harakatidan va M nuqta atrofida burilishidan iborat deb hisoblash mumkin.
M nuqtaning O z o’qi bo’yicha ko’chishini i orqali, s yoyga urinma
bo’yicha ko’chishini esa bilan belgilaymiz. Bu har bir ko’chish nuqtaning z va s koordinatalarining funksiyasidir.

1
u  f (z, s),  
f₂ (z, s).
(a)

Elastik deformasiya jarayonida sterjenning butunligi buzilmasligi uchun (a) uzluksiz bo’lishi kerak.
12.9-shakl.

d z qirra ilgarilanma ko’chishda
dx
ga ortadi (12.10-shakl, a), bu

o’z navbatida i funksiyaning orttirmasi hamdir
 d z  ^{ u} d z
 z

(b)

bo’lib,
_{ }  d z _  u
d z qirraning nisbiy cho’zilishi quyidagicha bo’ladi:
(v)

s
z d z  z

Ikkinchi gipotezaga ko’ra d_z
(*)
qirra orttirma olmaganligidan,
  0

bo’ladi.
Endi yuzachaning M nuqta atrofida burilishini tekshiramiz. Birinchi gipotezaga asosan yuzacha aylanganida uning qirralari orasidagi to’g’ri burchak o’zgarmaydi (12.10-shakl, b), bundan burchaklarning tengligi kelib chiqadi:

1 2
   (12.7)
u va funksiyalarning orttirmalari quyidagiga tengbo’ladi:

 u  ^{ u} ds ,
 s
   ^ dz
z
(g)



2

2
12.10-shakl, b dan ko’rinadiki:



1

1
 tq
 ^{ u} ds;
 s


ds
 tq
  ^ dz
 z


dz
(d)

12.10-shakl

Yoki (14.7) tenglikdan quyidagi kelib chiqadi:

^{ u}   ^ (12.8)
 s  z
Faraz qilaylik, sterjen buralganida ko’ndalang kesim yuzasi qandaydir qutb A atrofida  burchakka buriladi (12.11-shakl, a).
Ikkinchi gipotezaga ko’ra kesim bikr disk kabi aylanadi, va M nuqta M₂ holatga o’tadi.  burchak kichik bo’lganligidan yozamiz:

2
MM  AM  (12.9)

Endi M nuqtadan urinma o’tkazib uning ko’chishini urinmaga proyeksiyalab quyidagini olamiz:

2
MC    MM cos  ,
yoki (12.9) ni hisobga olganda kuyidagicha bo’ladi:
  AM  (cos  )
AM  cos   r . ekanligiii hisobga olib quyidaginn topamiz:
(z)

(j)

   r (12.10)
r ning qiymati z ga bog’liq emasligini hisobga olsak, ning z
bo’yicha xususiy hosilasi quyidagicha yoziladi:

 _  _r
(12.11)

 z  z

Bundan keyin quyidagini topamiz:
 _{  '}
 z
va ^ 2 ^   ^''
 z ²
belgilashlarni qabul qilib,

^   ^' r
 z
(12.12)

12.11-shakl
(12.12) ning qiymatini (12.8) ga qo’yib, quyidagini olamiz:

^{ u}   ^' r
 s
i funksiyani olish uchun  ^'
(12.13)
yoy S ga bog’liq bo’lmaganligi sababli,

(12.13) ni s yoy bo’yicha iitegrallab i funksiyani topamiz:

u  _
S
^{ u} ds   ^'
 s
_ rds  u₀
S
(z)
(12.14)

Buda ^{ u}
 s
integrallanganidan (14.14) ning o’ng tomoniga
u₀ (z) ni

kiritib, fizik ma’nosiga ko’ra
u₀ (z)
funksiya i ko’chishning bir qismini

ifodalaydi va u kesimning barcha nuqtalari uchun o’zgarmasdir.
(12.14) formuladagi rds elementar sektor AM m ning ikkilangan

yuzasini ifodalaydi va uni d
(12.11-shakl, b):
_ rds  _ d  .
S S
bilan belgilab quyidagini hosil qilamiz

U vaqtda (12.14) quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

0
u   ^'  u (z),

(12.15)

bu yerda, ,
AM ₀ M₁
sektorning ikkilangan yuzasini ifodalaydi (12.12-

shakl), va sektorial yuza deb ataladi. Radius vektorning uchi boshlang’ich nuqta M₀ dan boshlab kesim profili bo’ylab ko’chishida . yuza hosil bo’ladi va uning qiymati profilning turli nuqtalari uchun qutb A hamda M₀ nuqta holatiga bog’liq bo’ladi.
Sektorial yuza musbat hisoblanadi qachonki, kesim yuzasiga z
o’qining musbat yo’nalishidan qaraganda nuqta hisob boshi M₀

12.12-shakl. (12.12)-shaklda,


M₁ nuqta uchun ning qiymati manfiy,


M ₂ va M _i

nuqtalar uchun musbatdir.
Sektorial yuza profilning har bir nuqtasi uchun ma’lum qiymat va ishoraga ega bo’ladi, shuning uchun u nuqtaning sektorial koordinatasi deyiladi.
z koordinataga ning qiymatiga bog’liq bo’lmaganligidan i funksiyadan z bo’yicha xususiy hosila olib, (v) gaqo’yib quyidagini hosil qilamiz:

z
   ^''  u ^' z (12.16)
(*) va (12.16) formulalar statikaning muvozanat tenglamalari bilan birga kuchlanishning taqsimlanish qonuni va qiymatini, hamda, erkinmas

buralishda ularga mos keluvchi ichki kuch faktorlarini aniqlash imkonini beradigan qo’shimcha tenglamalar sifatida qo’llaniladi.

3. 
   O’rta sirtning ixtiyoriy M nuqtasi atrofida ajratilgan elementar yuzachani qaraymiz (12.13-shakl).
   

3
Erkinmas buralishda ham egilish va erkin buralishdagi kabi bo’ylama

tolalar orasida o’zaro bosim bo’lmagani uchun qilib, Guk qonuniga asosan:
_  E_Z


bo’ladi.
  0
bo’ladi deb taxmin

(12.17)

U vaqtda (12.16) formuladan quyidagini hosil qilamiz:
_z ning qiymatini (12.17) ga qo’yib

0


  E ^''  Eu ^' (z) (12.18)

(12.18) dan qilamiz:

12.13-shakl.
_ qiymatini (12.4) ga qo’yib,



0

u
^' ni topish uchun hosil

N  __ dA  _ E   Eu (z)dF  0
'' '



(12.19)

F F

0
 ^'' , u ^' (z) funksiyalar s yoyga bog’liq bo’lmaganligidan (12.19)
quyidagi ko’rinishni oladi:

 E ^'' _
F
 dF  Eu ^' (z)_

0
F
 ^'' _ dF
dF  0 , (12.20)

bundan:
u ^' (z)  ^F , (12.21)

bo’ladi. bunda
0 <sub>F


</sub>  dF  S_ - kesim yuzasishng sektorial statik momenti deb
F

ataladi,u musbat, manfiy ishorali va nolga teng bo’lishi mumkin va

.uzunlik o’lchov birligining to’rtinchi darajasi (odatda, sm⁴) bilan o’lchanadi
Masalan, profili 12.14-shakl, a da ko’rsatilgan kesim uchun M₀ nuqta

chap tomonda bo’lsa
 f 0 , o’ngda bo’lsa
 p 0 . M ₀
oraliq nuqtada bo’lsa

ikki xil ishoraga ega bo’ldi (12.14-shakl, b,v,g).
Bu epyuralardan ko’rinib turibdiki, M ₀ nuqta maxsus tanlanganida

butun kesim uchun
S_  0
bo’lishi ham mumkin

Kelgusida M₀ nuqtani
S_  0
deb tanlab olamiz u vaqtda
u ^' (z)  0

bo’lib_
bo’ladi.
 E ^''
(12.22)

Bu ifoda sterjenning kesim yuzasidagi _
larning taqsimlanish

qonunini ifodalaydi va sektorial yuzalar qonuni deyiladi. Har bir kesim

uchun Ye va
_ ' '
o’zgarmas bo’lganligidan _
ning epyurasi ham

epyurasi ko’rinishiga ega bo’ladi. M₀ nuqta bosh sektorial nol nuqta deb ataladi.

 ^'  const
bo’lsa,  ^{' '}  0
bo’lib
_  0
bo’ladi

Sterjen kesim yuzasida paydo bo’ladigan urinma kuchlanishlarni
topish uchun Juravskiy formulasini topishdagi yo’lni tutib,  _
kuchlanishlarni topamiz, ya’ni avval sterjen bo’ylama kesimlarida paydo

bo’ladigan kuchlanish _
larni topamiz.

Sterjendan ko’ndalang tekisliklar bilan uzunligi d z bo’lgan element,

undan esa
amm₁a₁
bo’lagini ajratib olamiz 12.15-shakl.

Uning am qirrasiga
_ va a₁m₁ yon qirralari bo’ylab 
 ^ dz
^  z

normal kuchlanishlar ta’sir etadi.
mm₁
bo’ylama kesimda urinma

kuchlanish _
lar hosil bo’ladi va u z o’qiga teskari tomonga yo’nalgan

bo’lsa musbat ishorali bo’ladi.
Bu bo’lakning sterjen ko’ndalang kesim yuzasida yotuvchi
am qirrasidagi urinma kuchlanishlar ularning juftlik qonuniga

ko’ra hosil bo’ladi. d z
elementning tashqi
aa₁
va bb₁
qirralarida

kuchlanash yo’q deb hisoblaymiz.
amm₁a₁ qismning muvozanat shartidan foydalanib, barcha
kuchlarning z o’qiga proyeksiyalarining yig’indisini nolga tenglab quyidagi ifodani olamiz:

_ Z  _
F_r
 dF  
_ dz 
_ (_
^Frr
 ^ dz)dF  0,
 z
(12.23)

bundan:
_ dz  dz
_ ^ dF ,

_F  z
k
(12.24)

Buni
d z ga qisqartirib. (12.24) dan _
ning qiymatni qo’yib,

quyidagi formulani yozish mumkin:

_
_{ } 

_F  z
k
(E ^'') dF .
(12.25)

z ga bog’liq emasligini hisobga olib, (12.25) ifodani differensiallab quyidagini hosil qilamiz:

_   _E '''
 _
 dF
F_k
(12.26)


Shunday qilib, qilib natijada quyidagi formulani hosil qilamiz:

_{ } ^E аж
'''
 S , (12.27)
 _ 


bunda S ^аж -ajratib olingan bo’lakning sektorial statik momenti bo’lib







S
^аж  dF . (12.28)
F_k

(12.28) formula _
kuchlanishning sterjen kesim yuzasida

taqsimlanish qonunini ifodalaydi. Kesim uchun E ^''' ko’paytma kesim
_S аж

uchun o’zgarmas miqdor bo’lganligidan kuchlanish ^

o’zgaradi
qonuni bo’yicha

Butun kesim yuzasi uchun
S_  0
ekanligi shartidan foydalanib, ^аж



S
ni ajratib olingan bo’lak uchun ham olish mumkin.