12. mavzu. Dinamikaning asosiy teoremalari

12.5. Kuchning ishi. Quvvat

Mexanikada ikki xil o’lchov mavjud bo’lib, birinchisi moddiy nuqta yoki mexanik sistemaning mexanik harakati o’lchovini ifodalaydi. Bu o’lchov qatoriga harakat miqdori, harakat miqdori momenti, kinetik energiya kabi kattaliklarni kiritish mumkin. Ikkinchi xil o’lchov ega o’zaro mexanik ta’sirni ifodalaydi. Bu o’lchov jumlasiga kuch, kuch momenti, kuch impulьsi, kuchning ishi va hokazolarni kiritish mumkin. Bu ikki xil o’lchov bir-biri bilan ma’lum munosabatlar orqali bog’langan. Masalan, moddiy nuqta harakat miqdorining o’zgarishi unga ta’sir qiluvchi kuchning impulьsi bilan o’lchanib, harakat miqdori o’zgarishining o’lchovi bo’ladi. Bunda harakatning formasi o’zgarmaydi - mexanik harakat boshqacha shunday harakatga aylanadi (harakat miqdori oshadi yoki kamayadi). Mexanik harakatning o’zgarishida harakat bir turdan boshqa turga aylanishi ham mumkin: mexanik harakatning o’lchovi bo’lgan kinetik energiya o’zgarishi bilan mexanik harakat boshqa turdagi harakatga, kinetik energiya esa boshqa turdagi energiyaga aylanishi mumkin. Masalan, qarshilik ko’rsatuvchi muhitda harakatlanuvchi jismning harakat davomida tezligi, pirovard natijada kinetik energiyasi ham kamayib boradi. Kinetik energiya qanchalik kamayib borsa, ishqalanish tufayli sodir bo’lgan issiqlik energiyasi shunchalik oshib boradi. Ko’ramizki. bu yerda mexanik harakat o’zgarib, harakatning boshqa turiga - issiqlik bilan xarakterlanuvchi fizik harakatga aylandi. Bu holda kuchning ishi harakat o’zgarishining o’lchovi bo’lib xizmat qiladi, ya’ni mexanik harakatning boshqa bir shakldagi harakatga aylanishining miqdoriy o’lchovi sifatida ish tushunchasini kiritish mumkin.
Mexanik harakatning mexanik bo’lmagan harakatga aylanishi yoki, aksincha, mexanik bo’lmagan harakatning mexanik harakagga aylanishi ma’lum yo’l oraligida sodir bo’lib, bu jarayon ta’sir qiluvchi kuchlarga bog’liq.
I xtiyoriy kuchning biror chekli oraliqdagi ishini aniqlashda kuchning elementar ishi tushunchasidan foydalanamiz.
M moddiy nuqta kuch ta’sirida elementar vektorga teng ko’chish olsin (12.1-rasm). kuch bilan ko’chish vektorining skalyar kupaytmasi kuchning kuchishidagi elementar ishi deyiladi. Kuchning elementar ishini bilan belgilasak, ta’rifga binoan,

(12.16)

va vektorlar orasidagi burchakni bilan belgilasak, (12.16) ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

(12.17)

deb olib, (12.17) ni quyidagicha ifodalash mumkin:

(12.18)

(12.18) da bilan nuqtaning traektoriya buylab elementar kuchishi belgilangan.
va vektorlarni mos ravishda ularning Dekart o’qlaridagi proektsiyalari va orqali ifodalasak, (12.16) dan

(12.19)

hosil bo’ladi. (12.19) kuchning elementar ishini analitik usulda ifodalashdan iborat.
bo’lishini nazarda tutsak, (12.16) tenglikni

(12.20)

formulaga keltirish mumkin.
M moddiy nuqtaga qo’yilgan kuchning chekli oraliqdagi ishini hisoblashda shu oraliqni bir necha elementar bo’lakcha larga ajratib, mazkur oraliqdagi elementar ishlarning yig’indisi kabi aniqlash mumkin:

(12.16)­ - (12.19) ifodalarnn e’tiborga olib, oxirgi tenglikni integral orqali quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

(12.21)

yoki

(12.22)

nuqta holatda bo’lgan paytida , holatga o’tgan paytni bilan belgilab, (12.20) ga asosan chekli oraliqdagi ish formulasini

(12.23)

ko’rinishda ham ifodalash mumkin.
Biror kuch ishining vaqt birligi ichida o’zgarishi shu kuchning quvvatini ifodalaydi. Kuch quvvatini bilan belgilasak, ta’rifga binoan,

(12.24)

(12.16)­­­­­­­­­ – (12.20) ifodalarni e’tiborga olib, quvvatni aniqlovchi quyidagi munosabatlarni yozish mumkin;

(12.25)

ga ko’ra (12.23) ifoda

(12.26)

ko’rinishni oladi.
kuch o’zgarmas bo’lgan xususiy holda uning oraliqdagi ishi (12.21) formulaga binoan quyidagicha aniqlanadi:

(12.27)

dan ko’ramizki, da da da bo’ladi.
Kuchning ishi xalqaro birliklar sistemasi (SI) da 1J = 1 N∙m da, quvvat esa bilan o’lchanadi.
Agar M moddiy nuqtaga teng ta’sir etuvchisi bo’lgan kuchlar sistemasi qo’yilsa, teng ta’sir etuvchining elementar kuchishdagi elementar ishi tashkil etuvchi kuchlarning shu ko’chishdagi elementar ishlari yig’indasiga teng bo’ladi, ya’ni

(12.28)

Haqiqatan,

yoki

(12.28) ga binoan, teng ta’sir etuvchining chekli oraliqdagi ishi uchun quyidagi formulani yozish mumkin:

(12.29)