12. mavzu. Dinamikaning asosiy teoremalari

12.3. Mexanik sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqida teorema.

Teorema. Mexanik sistema harakat miqdorining vaqt bo’yicha birinchi tartibli hosilasi sistemaga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarning bosh vektoriga teng.
Isbot. Mexanik sistema harakati differentsial tenglamalari (12.4) ning chap va o’ng tomonlarini mos ravishda qo’shib

(12.7)

ifodani hosil qilamiz. Ichki kuchlarning xossasiga ko’ra . (12.7) da – mexanik sistemaga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarning bosh vektorini ifodalaydi. - o’zgarmas, bo’lgani uchun . Natijada, (12.7) ifoda quyidagicha yoziladi:

Bunda (17.11) e’tiborga olinsa, uni

(12.8)

ko’rinishda yozish mumkin. SHu bilan teorema isbot bo’ldi.
Moddiy nuqtaga ta’sir qiluvchi kuchlarning teng ta’sir etuvchisini desak, moddiy nuqta harakat miqdorining uzgarishi haqidagi teorema quyidagicha bo’ladi:

(12.8) ni ko’rinishda yozib, bu tenglamaning ikkala tomonini vaqt oraligida integrallaymiz:

bunda , – sistemaning mos ravishda, paytlardagi harakat miqdorlari, esa tashqi kuchlar bosh vektorining vaqt oraligidagi impulsini ifodalaydi.
SHunday qilib

(12.9)

(12.9) ifoda impulslar teoremasini ifodalaydi: mexanik sistema harakat miqdorining chekli vaqt oraligida o’zgarishi unga quyilgan tashqi kuchlar bosh vektorining shu vaqt ichidagi impulsiga teng.
(12.8) va (12.9) ni Dekart koordinata o’qlariga proektsiyalab, mos ravishda, harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teoremaning skalyar ko’rinishi:

(12.10)

va impulslar teoremasining shu o’qlardagi proektsiyalari orqali ifodalanishi:

(12.11)

hosil qilinadi.
Xususiy holda, bo’lsa, (12.8) dan

(12.12)

kelib chiqadi. (12.12) munosabat sistema harakat miqdorining saqlanish qonunini ifodalaydi: mexanik sistemaga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarning bosh vektori nolga teng bulsa, sistema harakat miqdori o’zgarmas bo’ladi. Ya’ni tashqi kuchlarsiz, faqat ichki kuchlar bilangina sistema harakat miqdorini o’zgartirib bulmas ekan.
SHuningdek, holida (17.18) dan bo’lishi kelib chiqadi.