12-ma’ruza. So‘nuvchi tebranishlar, ularning Lagranj funksiyalari va harakat tenglamalari, dissipativ funksiya tushunchasi. Molekulaning tebranishlari

So‘nish bor vaqtdagi majburiy tebranishlar. Nochiziqli tebranishlar. Adiabatik invariantlar. Parametrik rezonans. Tez tebranib o‘zgaruvchi maydondagi harakat.

Moddiy nuqtaning tebranma harakati davomida davriy o‘zgaruvchi kuch ta’sirida majburiy tebranishi hosil bo‘ladi. Agar majburiy kuch garmonik o‘zgargan hol amaliyotda muhim hisoblanadi. To‘g‘ri chiziqdan iborat traektoriyani ko‘ramiz. nuqtaga qaytaruvchi kuch, qarshilik kuchi va majburlovchi kuch ta’sir qiladi.

Majburlovchi kuchning o‘qiga proeksiyasi garmonik qonun bilan o‘zgaradi.
(1)
- aylanma chastota, - amplituda
Bu nuqtaning differensial harakat tenglamasini yozamiz.

Belgilash kiritamiz


(2)
Differensial tenglamalar nazariyasiga binoan bunday tenglamaning umumiy echimi ikki qismdan iborat: bir jinsli tenglamaning umumiy echimi va berilgan nobirjinsli tenglamaning xususiy echimining yig‘indisidan iborat.
(3)
Bir jinsli tenglamaning umumiy echimi

tenglamaning uchun echimini bilamiz.
(4)
bir jinslibo‘lmagan (2) tenglamaning xususiy echimini
(6)
ko‘rinishida qidiramiz.
va doimiylar (4) echimni (1) tenglamaga qo‘yilganda tenglik bajarilishi kerak. SHuning uchun echimning hosilalarini olamiz.
(7)
Endi (6) va (7) ifodalarni (2) tenglamaga qo‘yamiz.
(8)
Oxirgi tenglama vaqtning ixtiyoriy momentida va o‘z navbatida ixtiyoriy qiymatida bajarilishi kerak.
Bu shart (5.21) tenglamada va oldidagi koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng bo‘lganda bajariladi.


(9)


(10)
Endi aniqlangan (5) va (6) echimlarni (5.17) ga qo‘yib, umumiy echimni yozishimiz mumkin.
(11)


Rezonans. Nochiziqli tebranishlar

Majburiy tebranishda muhitning qarshiligining tebranish amplitudasiga ta’sirini ko‘raylik.

(1)
, .
So‘nish koeffitsienti ning o‘sishi majburiy tebranish amplitudasini kamaytiradi.
- muhitning qarshiligi bo‘lmaganda amplituda
(2)
bo‘ladi.
Qarshilik bo‘lganda majburlovchi kuchning chastotasi ning ga ta’sirini ko‘ramiz.
Har doim shuning uchun



O‘z navbatida da funksiya minimumiga erishadi, amplituda esa maksimumga. Bunday chastota kritik chastota bo‘ladi.
(3)
Uning aniqlanishini ko‘ramiz. Oxirgi (3) formuladan ko‘rinadiki, kritik chastota va maksimal amplituda so‘nish koeffitsientining qiymatlaridagina mavjud bo‘lishi mumkin. Aks holda da (5.29) binoan bo‘ladi. Bunda ning berilgan qiymatida ning o‘sishi (5.28)dan ning o‘sishiga olib keladi. SHuningdek dan nolgacha manoton kamayadi, bunda

muvozanat holati.
Kritik chastota (3) qiymatini (1) formulaga qo‘yib maksimal amplituda uchun yozamiz.

(4)
maksimal amplitudani bo‘lgandagi amplitudaga nisbatiga dinamik koeffitsient deyiladi.
(5)

Majburlovchi kuch chastotasi erkin tebranish chastotasiga yaqin bo‘lganda majburiy tebranishning amplitudasining keskin oshishiga rezonans deyiladi. Qarshilik bo‘lmasa va majburlovchi kuch chastotasi erkin tebranish chastotasiga teng bo‘lsa majburiy tebranish amplitudasi cheksiz oshadi. Real holda amplituda chekli o‘sadi va konstruksiya buziladi.
(6)
Bu ifodadan quyidagi bog‘lanish topilsa